O ponto de suspensão de um péndulo de massa m e comprimento l pode mover-se horizontalmente ligado a duas molas idênticas de constante elástica k. (i) Escolhendo como coordenadas generalizadas o deslocamento x do ponto de suspensão e o ângulo \theta entre o fio e a vertical, encontre a lagrangiana e as equações de movimento. (ii) Obtenha a forma aproximada das equações de Lagrange no caso de pequenas oscilações angulares ( \operatorname{sen} \theta \approx \theta, \cos \theta \approx 1 e termos do tipo \theta^{n} ou \dot{\theta}^{n} com n>1 são desprezíveis). Combinando as equações de movimento aproximadas, mostre que x=\alpha \theta para um certo valor da constante \alpha. Mostre, em seguida, que o sistema equivale a un pêndulo simples de comprimento l^{\prime} e exprima l^{\prime} em termos de l, m, g, k.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais: (i) escrever a lagrangiana do sistema usando como coordenadas generalizadas o deslocamento horizontal \,x do ponto de suspensão e o ângulo \theta do fio com a vertical, e obter as equações de movimento; (ii) linearizar essas equações para pequenas oscilações ( \sin\theta\approx\theta, \cos\theta\approx1, desprezando termos de ordem superior em \theta e \dot\theta), mostrar que existe uma relação x=\alpha\theta e que o sistema se reduz a um pêndulo simples com comprimento efetivo l', expressando l' em função de l,m,g,k.
Dados fornecidos e convenções que vou usar (resumo):
  • massa do pêndulo: \,m.
  • comprimento do fio: \,l.
  • constante elástica de cada mola: \,k (são duas molas idênticas ligadas ao ponto de suspensão).
  • coordenadas generalizadas: \,x(t) deslocamento horizontal do ponto de suspensão; \theta(t) ângulo entre o fio e a vertical.
  • vou tomar o ponto de suspensão com coordenada vertical fixa (referência), e as duas molas contribuem com energia elástica total igual à soma das duas energias elásticas (cada uma com \tfrac12 k x^2), portanto energia elástica total \,k x^2.
A partir daqui eu monto as energias, a lagrangiana e aplico as equações de Lagrange.

Passo 2

Posição do bloco (massa) e velocidade — fórmula e intuição.
  • Se o ponto de suspensão está na posição horizontal x (e com coordenada vertical fixa), a posição do corpo em coordenadas cartesianas é
X = x + l\sin\theta, \qquad Y = -\,l\cos\theta.
Explicando: x é a posição horizontal do ponto de suspensão; o fio de comprimento l torna a componente horizontal adicional l\sin\theta, e a componente vertical medida para cima é -l\cos\theta.
  • Derivando no tempo (regra da cadeia) obtemos as velocidades:
\dot X = \dot x + l\cos\theta\,\dot\theta, \qquad \dot Y = l\sin\theta\,\dot\theta.
  • A velocidade escalar ao quadrado (velocidade total) é
v^2 = \dot X^{2} + \dot Y^{2} = (\dot x + l\cos\theta\,\dot\theta)^2 + (l\sin\theta\,\dot\theta)^2.
Desenvolvendo e usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 simplifica para
v^2 = \dot x^{2} + 2l\cos\theta\,\dot x\,\dot\theta + l^{2}\dot\theta^{2}.

Passo 3

Energia cinética T e potenciais V — construção da lagrangiana.
  • Energia cinética da massa:
T = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 m\bigl(\dot x^{2} + 2l\cos\theta\,\dot x\,\dot\theta + l^{2}\dot\theta^{2}\bigr).
Explicando cada termo: \tfrac12 m\dot x^2 vem do movimento horizontal do ponto de suspensão; o termo misto \,m l\cos\theta\,\dot x\,\dot\theta aparece porque há movimento relativo devido à rotação; \tfrac12 m l^2\dot\theta^2 é a energia rotacional do pêndulo.
  • Energia potencial gravitacional (tomando zero arbitrário, aqui uso V_g=-m g l\cos\theta; é a forma comum ao tomar referência na suspensão):
V_g = -\,m g l\cos\theta.
  • Energia elástica das duas molas (cada uma tem \tfrac12 k x^2; somando as duas):
V_{\text{molas}} = \tfrac12 k x^2 + \tfrac12 k x^2 = k x^2.
  • Energia potencial total:
V = V_g + V_{\text{molas}} = -\,m g l\cos\theta + k x^2.
  • Lagrangiana L=T-V:
L = \tfrac12 m\bigl(\dot x^{2} + 2l\cos\theta\,\dot x\,\dot\theta + l^{2}\dot\theta^{2}\bigr) + m g l\cos\theta - k x^2.

Passo 4

Aplicando a equação de Lagrange para a coordenada x.
  • Lembrete da fórmula: para uma coordenada generalizada q,
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Aqui q=x. Calculemos passo a passo:
\frac{\partial L}{\partial\dot x}= m\bigl(\dot x + l\cos\theta\,\dot\theta\bigr).
Derivando no tempo:
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot x}\Bigr) = m\bigl(\ddot x + l(-\sin\theta)\,\dot\theta\,\dot\theta + l\cos\theta\,\ddot\theta\bigr) = m\bigl(\ddot x + l\cos\theta\,\ddot\theta - l\sin\theta\,\dot\theta^{2}\bigr).
Agora \partial L/\partial x. Na lagrangiana o único termo com x é -k x^2, então
\frac{\partial L}{\partial x} = -2k x.
Aplicando Euler–Lagrange:
m\bigl(\ddot x + l\cos\theta\,\ddot\theta - l\sin\theta\,\dot\theta^{2}\bigr)-(-2k x)=0,
ou reorganizando,
m\ddot x + m l\cos\theta\,\ddot\theta - m l\sin\theta\,\dot\theta^{2} + 2k x = 0.

Passo 5

Aplicando a equação de Lagrange para a coordenada \theta.
  • Primeiro compute \partial L/\partial\dot\theta:
\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}= m\bigl(l^{2}\dot\theta + l\cos\theta\,\dot x\bigr).
Derivando no tempo:
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\Bigr) = m\bigl(l^{2}\ddot\theta + l(-\sin\theta)\,\dot\theta\,\dot x + l\cos\theta\,\ddot x\bigr) = m\bigl(l^{2}\ddot\theta + l\cos\theta\,\ddot x - l\sin\theta\,\dot x\,\dot\theta\bigr).
  • Agora \partial L/\partial\theta. Da expressão de L, os termos dependentes de \theta são o misto m l\cos\theta\,\dot x\,\dot\theta e o +m g l\cos\theta. Calculando:
\frac{\partial L}{\partial\theta} = -m l\sin\theta\,\dot x\,\dot\theta - m g l\sin\theta.
  • Aplicando Euler–Lagrange para \theta:
m\bigl(l^{2}\ddot\theta + l\cos\theta\,\ddot x - l\sin\theta\,\dot x\,\dot\theta\bigr) -\bigl(-m l\sin\theta\,\dot x\,\dot\theta - m g l\sin\theta\bigr)=0.
Note que os termos com \dot x\,\dot\theta se cancelam, restando
m l^{2}\ddot\theta + m l\cos\theta\,\ddot x + m g l\sin\theta = 0.
Dividindo por m se desejar:
l^{2}\ddot\theta + l\cos\theta\,\ddot x + g l\sin\theta = 0.

Passo 6

Resumo: equações de movimento exatas (não linearizadas).
  • Das contas anteriores obtemos as duas equações de movimento exatas:
m\ddot x + m l\cos\theta\,\ddot\theta - m l\sin\theta\,\dot\theta^{2} + 2k x = 0,
m l^{2}\ddot\theta + m l\cos\theta\,\ddot x + m g l\sin\theta = 0.
Essas são as equações completas obtidas das equações de Lagrange.

Passo 7

Linearização para pequenas oscilações ( \theta pequeno).
  • Para pequenas oscilações usamos as aproximações:
\sin\theta\approx\theta,\qquad \cos\theta\approx 1,
e desprezamos termos não-lineares como \theta^{n} e \dot\theta^{n} para n>1. Em particular o termo m l\sin\theta\,\dot\theta^{2} é de ordem superior e é desprezível.
  • Substituindo nas equações exatas e desprezando termos não-lineares, obtemos as equações lineares aproximadas:
m\ddot x + m l\,\ddot\theta + 2k x = 0,
m l^{2}\ddot\theta + m l\,\ddot x + m g l\,\theta = 0.
Podemos dividir por m para simplificar:
\ddot x + l\,\ddot\theta + \frac{2k}{m}x = 0,
l^{2}\ddot\theta + l\,\ddot x + g l\,\theta = 0.

Passo 8

Achar a relação x=\alpha\theta.
  • Procuro uma solução onde as coordenadas permanecem proporcionais no tempo (modo normal), ou seja assumo
x(t)=\alpha\,\theta(t),
com \alpha constante (essa suposição é típica ao buscar modos normais lineares).
  • Então \ddot x=\alpha\,\ddot\theta. Substituindo essa relação nas equações lineares:
    da primeira: m(\alpha\,\ddot\theta) + m l\,\ddot\theta + 2k(\alpha\,\theta)=0que dá m(\alpha + l)\ddot\theta + 2k\alpha\,\theta = 0.da segunda: m l^{2}\ddot\theta + m l(\alpha\,\ddot\theta) + m g l\,\theta = 0que dá m(l^{2}+l\alpha)\ddot\theta + m g l\,\theta = 0.
  • Podemos dividir a segunda por l para ficar na mesma forma de coeficientes: m(l+\alpha)\ddot\theta + m g\,\theta = 0.
  • Agora as duas equações em \theta (ambas homogêneas) devem ser compatíveis para existir \theta\neq0. Comparando os coeficientes dos termos em \theta (já que os coeficientes de \ddot\theta são ambos proporcionais a m(\alpha+l)), obtemos a condição
\frac{2k\alpha}{m} = g.
(Isto resulta de igualar os termos que multiplicam \theta nas duas equações.)
  • Resolvendo para \alpha:
\alpha = \frac{m g}{2k}.
Interpretação: para o modo onde x e \theta oscilam proporcionalmente, a constante de proporcionalidade é \alpha=\dfrac{m g}{2k}.

Passo 9

Equivalência a um pêndulo simples e comprimento efetivo l'.
  • Usando a relação \alpha=\dfrac{m g}{2k} e substituindo na segunda equação linearizada simplificada (ou diretamente na forma reduzida que obtivemos) dá:
m(l+\alpha)\ddot\theta + m g\,\theta = 0.
Dividindo por m:
(l+\alpha)\ddot\theta + g\,\theta = 0.
  • Esta é a equação de um pêndulo simples linearizado da forma
\ddot\theta + \frac{g}{l'}\,\theta = 0,
onde o comprimento efetivo \,l' satisfaz
l' = l + \alpha.
  • Substituindo \alpha=\dfrac{m g}{2k} obtemos a expressão final:
l' = l + \frac{m g}{2k}.
  • Conclusão física: o acoplamento do ponto de suspensão às molas faz com que, no modo linear em que x acompanha \theta, o sistema se comporte como um pêndulo simples com comprimento aumentado em \dfrac{m g}{2k}. A frequência angular desse modo é
\omega^{2}=\frac{g}{\,l'}=\frac{g}{\,l + \dfrac{m g}{2k}\,}.

Resposta

Lagrangiana:
\displaystyle L=\tfrac12 m\bigl(\dot x^{2}+2l\cos\theta\,\dot x\,\dot\theta+l^{2}\dot\theta^{2}\bigr)+m g l\cos\theta - k x^{2}.
Equações de movimento exatas:
\displaystyle m\ddot x + m l\cos\theta\,\ddot\theta - m l\sin\theta\,\dot\theta^{2} + 2k x = 0,
\displaystyle m l^{2}\ddot\theta + m l\cos\theta\,\ddot x + m g l\sin\theta = 0.
Relação linear para pequenas oscilações:
\displaystyle x=\alpha\theta com \displaystyle \alpha=\frac{m g}{2k}.
Comprimento efetivo do pêndulo equivalente:
\displaystyle l' = l + \frac{m g}{2k}.

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