O ponto de suspensão de um péndulo de massa
e comprimento
pode mover-se horizontalmente ligado a duas molas idênticas de constante elástica
. (i) Escolhendo como coordenadas generalizadas o deslocamento
do ponto de suspensão e o ângulo
entre o fio e a vertical, encontre a lagrangiana e as equações de movimento. (ii) Obtenha a forma aproximada das equações de Lagrange no caso de pequenas oscilações angulares (
e termos do tipo
ou
com
são desprezíveis). Combinando as equações de movimento aproximadas, mostre que
para um certo valor da constante
. Mostre, em seguida, que o sistema equivale a un pêndulo simples de comprimento
e exprima
em termos de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais: (i) escrever a lagrangiana do sistema usando como coordenadas generalizadas o deslocamento horizontal
do ponto de suspensão e o ângulo
do fio com a vertical, e obter as equações de movimento; (ii) linearizar essas equações para pequenas oscilações (
,
, desprezando termos de ordem superior em
e
), mostrar que existe uma relação
e que o sistema se reduz a um pêndulo simples com comprimento efetivo
, expressando
em função de
.
Dados fornecidos e convenções que vou usar (resumo):
- massa do pêndulo:
. - comprimento do fio:
. - constante elástica de cada mola:
(são duas molas idênticas ligadas ao ponto de suspensão). - coordenadas generalizadas:
deslocamento horizontal do ponto de suspensão; ângulo entre o fio e a vertical. - vou tomar o ponto de suspensão com coordenada vertical fixa (referência), e as duas molas contribuem com energia elástica total igual à soma das duas energias elásticas (cada uma com
), portanto energia elástica total .
A partir daqui eu monto as energias, a lagrangiana e aplico as equações de Lagrange.
Passo 2
Posição do bloco (massa) e velocidade — fórmula e intuição.
- Se o ponto de suspensão está na posição horizontal
(e com coordenada vertical fixa), a posição do corpo em coordenadas cartesianas é
Explicando:
é a posição horizontal do ponto de suspensão; o fio de comprimento
torna a componente horizontal adicional
, e a componente vertical medida para cima é
.
- Derivando no tempo (regra da cadeia) obtemos as velocidades:
- A velocidade escalar ao quadrado (velocidade total) é
Desenvolvendo e usando
simplifica para
Passo 3
Energia cinética
e potenciais
— construção da lagrangiana.
- Energia cinética da massa:
Explicando cada termo:
vem do movimento horizontal do ponto de suspensão; o termo misto
aparece porque há movimento relativo devido à rotação;
é a energia rotacional do pêndulo.
- Energia potencial gravitacional (tomando zero arbitrário, aqui uso
; é a forma comum ao tomar referência na suspensão):
- Energia elástica das duas molas (cada uma tem
; somando as duas):
- Energia potencial total:
- Lagrangiana
:
Passo 4
Aplicando a equação de Lagrange para a coordenada
.
- Lembrete da fórmula: para uma coordenada generalizada
,
Aqui
. Calculemos passo a passo:
Derivando no tempo:
Agora
. Na lagrangiana o único termo com
é
, então
Aplicando Euler–Lagrange:
ou reorganizando,
Passo 5
Aplicando a equação de Lagrange para a coordenada
.
- Primeiro compute
:
Derivando no tempo:
- Agora
. Da expressão de , os termos dependentes de são o misto e o . Calculando:
- Aplicando Euler–Lagrange para
:
Note que os termos com
se cancelam, restando
Dividindo por
se desejar:
Passo 6
Resumo: equações de movimento exatas (não linearizadas).
- Das contas anteriores obtemos as duas equações de movimento exatas:
Essas são as equações completas obtidas das equações de Lagrange.
Passo 7
Linearização para pequenas oscilações (
pequeno).
- Para pequenas oscilações usamos as aproximações:
e desprezamos termos não-lineares como
e
para
. Em particular o termo
é de ordem superior e é desprezível.
- Substituindo nas equações exatas e desprezando termos não-lineares, obtemos as equações lineares aproximadas:
Podemos dividir por
para simplificar:
Passo 8
Achar a relação
.
- Procuro uma solução onde as coordenadas permanecem proporcionais no tempo (modo normal), ou seja assumo
com
constante (essa suposição é típica ao buscar modos normais lineares).
- Então
. Substituindo essa relação nas equações lineares:
da primeira:que dá da segunda: que dá - Podemos dividir a segunda por
para ficar na mesma forma de coeficientes: - Agora as duas equações em
(ambas homogêneas) devem ser compatíveis para existir . Comparando os coeficientes dos termos em (já que os coeficientes de são ambos proporcionais a ), obtemos a condição
(Isto resulta de igualar os termos que multiplicam
nas duas equações.)
- Resolvendo para
:
Interpretação: para o modo onde
e
oscilam proporcionalmente, a constante de proporcionalidade é
.
Passo 9
Equivalência a um pêndulo simples e comprimento efetivo
.
- Usando a relação
e substituindo na segunda equação linearizada simplificada (ou diretamente na forma reduzida que obtivemos) dá:
Dividindo por
:
- Esta é a equação de um pêndulo simples linearizado da forma
onde o comprimento efetivo
satisfaz
- Substituindo
obtemos a expressão final:
- Conclusão física: o acoplamento do ponto de suspensão às molas faz com que, no modo linear em que
acompanha , o sistema se comporte como um pêndulo simples com comprimento aumentado em . A frequência angular desse modo é
Resposta
Lagrangiana:
Equações de movimento exatas:
Relação linear para pequenas oscilações:
com
Comprimento efetivo do pêndulo equivalente: