A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do fluxo do campo elétrico através dessa superfície?
Passo 1
O enunciado pergunta: “A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do fluxo do campo elétrico através dessa superfície?”
Informações dadas (explícitas ou implícitas que vamos usar):
Informações dadas (explícitas ou implícitas que vamos usar):
- Há uma superfície fechada qualquer, que vou chamar de
(a “superfície gaussiana”). - Existe uma carga puntual
localizada no interior de (a posição exata dessa carga dentro de pode variar). - Queremos saber se mover a carga dentro de
altera o valor do fluxo elétrico através de . - Vamos usar as definições usuais de campo elétrico
, fluxo elétrico e a constante (permissividade do vácuo).
Passo 2
Definição de fluxo elétrico e interpretação física.
O fluxo elétrico através da superfície fechada é definido por
O fluxo elétrico através da superfície fechada
onde
é o vetor área (módulo igual à área do elemento infinitesimal, direção normal à superfície e sentido apontando para fora da região fechada).
Explicação didática: o produto escalar mede “quanto” do campo atravessa perpendicularmente aquele pedacinho de superfície. Integrando por toda a superfície fechada somamos todas as contribuições — é como contar quantas linhas de campo saem (ou entram, se negativas) da superfície.
Explicação didática: o produto escalar
Passo 3
Enunciado da Lei de Gauss (forma integral) e significado das grandezas.
A Lei de Gauss diz que, para o campo elétrico no espaço,
A Lei de Gauss diz que, para o campo elétrico no espaço,
onde
é a soma algébrica das cargas contidas no interior da superfície
e
é a permissividade do vácuo.
Explicação didática: esta é uma relação exata — ela afirma que o fluxo através de qualquer superfície fechada depende somente da carga total dentro dela, não da forma da superfície nem da distribuição espacial da carga dentro.
Explicação didática: esta é uma relação exata — ela afirma que o fluxo através de qualquer superfície fechada depende somente da carga total dentro dela, não da forma da superfície nem da distribuição espacial da carga dentro.
Passo 4
Prova-construção simples que mostra por que a posição da carga dentro de
não importa (método do “pequeno esferinha”):
- Considere a carga puntual
em alguma posição dentro de . Ao redor dessa carga desenhe uma pequena esfera centrada na carga, suficientemente pequena para que não contenha outras cargas. A esfera está inteiramente dentro de . - Considere a região volumétrica
entre a superfície externa e a esfera interior . Nessa região não há cargas (pois está dentro de e assumimos nenhuma outra carga aí). - A aplicação do teorema da divergência (ou simplesmente a Lei de Gauss aplicada à região
) diz que o fluxo total através da fronteira de é igual à carga dentro de dividida por . Como não há carga em , o fluxo total através da fronteira de é zero. A fronteira de é composta por (orientada para fora do volume ) e por (orientada para dentro do volume , ou seja, normal apontando para o interior da esfera quando vista do volume entre as superfícies). Isso dá
Ao tomar o sinal de orientação consistente, conclui-se que o fluxo através de
vale exatamente o fluxo através de
.
4) Calcule o fluxo através da pequena esfera : o campo de uma carga puntual
centrada na esfera é radial com módulo
4) Calcule o fluxo através da pequena esfera
e o elemento de área da esfera é
, onde
é o elemento de ângulo sólido. Então
Integrando sobre toda a esfera (ângulo sólido total
) obtemos
- Como o fluxo através de
é igual ao da esfera , concluímos que
Note que em nenhum passo desta demonstração a posição de
dentro de
foi usada de forma quantitativa: bastou que
estivesse no interior. Portanto mover
para outra posição dentro de
não altera o valor do fluxo.
Passo 5
Interpretação intuitiva e consequências práticas.
- Intuitivamente: o fluxo mede “quantos” linhas de campo saem da região fechada. Se a carga total dentro é
, o número de linhas que saem é proporcional a ; deslocar essa carga dentro da região muda apenas como as linhas saem localmente pela superfície, mas o total que cruza a superfície (soma de todas as entradas e saídas) permanece o mesmo. - Consequência: para cálculo de fluxo através de uma superfície fechada, só precisamos saber a carga total dentro — nem a forma da superfície nem a posição interna das cargas importam.
- Observação complementar: se a carga estiver fora de
(nenhuma carga dentro), o fluxo através de é zero ( ). Isso também segue da Lei de Gauss.
Passo 6
Um exemplo concreto, para fixar:
- Se
está dentro de , então o fluxo é
independente de estar no centro, perto da borda ou em qualquer outro ponto dentro de
.
- Se movermos a carga para qualquer outra posição dentro de
, o cálculo acima permanece válido — o valor numérico de não muda.
Resposta
Não. O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana depende apenas da carga total
contida no interior e vale
; a posição da carga dentro da superfície não altera esse valor.