A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do fluxo do campo elétrico através dessa superfície?

Passo 1

O enunciado pergunta: “A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do fluxo do campo elétrico através dessa superfície?”
Informações dadas (explícitas ou implícitas que vamos usar):
  • Há uma superfície fechada qualquer, que vou chamar de S (a “superfície gaussiana”).
  • Existe uma carga puntual q localizada no interior de S (a posição exata dessa carga dentro de S pode variar).
  • Queremos saber se mover a carga dentro de S altera o valor do fluxo elétrico através de S.
  • Vamos usar as definições usuais de campo elétrico \mathbf{E}, fluxo elétrico \Phi e a constante \varepsilon_0 (permissividade do vácuo).

Passo 2

Definição de fluxo elétrico e interpretação física.
O fluxo elétrico através da superfície fechada S é definido por
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é o vetor área (módulo igual à área do elemento infinitesimal, direção normal à superfície e sentido apontando para fora da região fechada).
Explicação didática: o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} mede “quanto” do campo atravessa perpendicularmente aquele pedacinho de superfície. Integrando por toda a superfície fechada somamos todas as contribuições — é como contar quantas linhas de campo saem (ou entram, se negativas) da superfície.

Passo 3

Enunciado da Lei de Gauss (forma integral) e significado das grandezas.
A Lei de Gauss diz que, para o campo elétrico no espaço,
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\mathrm{int}} é a soma algébrica das cargas contidas no interior da superfície S e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Explicação didática: esta é uma relação exata — ela afirma que o fluxo através de qualquer superfície fechada depende somente da carga total dentro dela, não da forma da superfície nem da distribuição espacial da carga dentro.

Passo 4

Prova-construção simples que mostra por que a posição da carga dentro de S não importa (método do “pequeno esferinha”):
  1. Considere a carga puntual q em alguma posição dentro de S. Ao redor dessa carga desenhe uma pequena esfera S_1 centrada na carga, suficientemente pequena para que não contenha outras cargas. A esfera S_1 está inteiramente dentro de S.
  2. Considere a região volumétrica V entre a superfície externa S e a esfera interior S_1. Nessa região não há cargas (pois q está dentro de S_1 e assumimos nenhuma outra carga aí).
  3. A aplicação do teorema da divergência (ou simplesmente a Lei de Gauss aplicada à região V) diz que o fluxo total através da fronteira de V é igual à carga dentro de V dividida por \varepsilon_0. Como não há carga em V, o fluxo total através da fronteira de V é zero. A fronteira de V é composta por S (orientada para fora do volume V) e por S_1 (orientada para dentro do volume V, ou seja, normal apontando para o interior da esfera quando vista do volume entre as superfícies). Isso dá
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}+\oint_{S_1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0.
Ao tomar o sinal de orientação consistente, conclui-se que o fluxo através de S vale exatamente o fluxo através de S_1.
4) Calcule o fluxo através da pequena esfera S_1: o campo de uma carga puntual q centrada na esfera é radial com módulo
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2},
e o elemento de área da esfera é d\mathbf{A}= \hat{r}\,r^2 d\Omega, onde d\Omega é o elemento de ângulo sólido. Então
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat{r}\cdot(\hat{r}\,r^2 d\Omega)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,d\Omega.
Integrando sobre toda a esfera (ângulo sólido total 4\pi) obtemos
\oint_{S_1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{4\pi} d\Omega=\frac{q}{\varepsilon_0}.
  1. Como o fluxo através de S é igual ao da esfera S_1, concluímos que
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q}{\varepsilon_0}.
Note que em nenhum passo desta demonstração a posição de q dentro de S foi usada de forma quantitativa: bastou que q estivesse no interior. Portanto mover q para outra posição dentro de S não altera o valor do fluxo.

Passo 5

Interpretação intuitiva e consequências práticas.
  • Intuitivamente: o fluxo mede “quantos” linhas de campo saem da região fechada. Se a carga total dentro é q, o número de linhas que saem é proporcional a q; deslocar essa carga dentro da região muda apenas como as linhas saem localmente pela superfície, mas o total que cruza a superfície (soma de todas as entradas e saídas) permanece o mesmo.
  • Consequência: para cálculo de fluxo através de uma superfície fechada, só precisamos saber a carga total dentro — nem a forma da superfície nem a posição interna das cargas importam.
  • Observação complementar: se a carga estiver fora de S (nenhuma carga dentro), o fluxo através de S é zero ( \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0). Isso também segue da Lei de Gauss.

Passo 6

Um exemplo concreto, para fixar:
  • Se q=+2{,}0\\ \mathrm{C} está dentro de S, então o fluxo é
\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{2{,}0}{\varepsilon_0},
independente de estar no centro, perto da borda ou em qualquer outro ponto dentro de S.
  • Se movermos a carga para qualquer outra posição dentro de S, o cálculo acima permanece válido — o valor numérico de \Phi não muda.

Resposta

Não. O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana depende apenas da carga total Q_{\mathrm{int}} contida no interior e vale \displaystyle \Phi=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}; a posição da carga dentro da superfície não altera esse valor.

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