A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico. Podemos confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o campo elétrico de uma carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma distância r, é dado por E = Q / (
) (lei de Coulomb).
Passo 1
O enunciado pede que, partindo da lei de Gauss, a gente deduza a expressão do campo elétrico criado por uma carga puntiforme a uma distância
. Ou seja, mostrar que o módulo do campo elétrico é
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
- Há uma única carga puntiforme de valor
localizada em um ponto (vamos assumir a origem). - Queremos o campo elétrico a uma distância
da carga (ou seja, em qualquer ponto da superfície esférica de raio centrada na carga). - Podemos usar a lei de Gauss como ponto de partida.
Passo 2
Escrevendo a lei de Gauss na forma integral (que é a ferramenta que vamos aplicar):
Aqui:
-
é o campo elétrico vetorial em cada ponto da superfície . -
é o elemento vetorial de área da superfície: seu módulo é a área infinitesimal e sua direção é a normal externa à superfície. -
é a carga total contida no interior da superfície . -
é a permissividade do vácuo (constante física).
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana: por causa da simetria do problema (uma carga pontual no centro), a escolha natural é uma esfera de raio
centrada na carga. Explico por quê:
- Rotacionando o sistema em torno da carga não muda nada (o problema é isotrópico). Logo o campo não pode depender da direção angular: seu módulo só pode depender da distância radial
. - Além disso, pelo mesmo argumento de simetria, o campo deve apontar radialmente (para fora se
, para dentro se ). Assim, em qualquer ponto da esfera de raio o vetor campo tem a direção do vetor radial unitário e o mesmo módulo .
Passo 4
Escrevendo o campo em função de
e direção:
onde
é o módulo (positivo) do campo na distância
e
é o vetor unitário radial (aponta para fora). O elemento vetorial de área da esfera vale
porque a normal à superfície esférica é a direção radial.
Passo 5
Agora calculamos o fluxo na esfera usando o produto escalar:
pois
. Integrando sobre toda a superfície esférica,
A área da esfera de raio
é
. Então
Passo 6
Aplicando a lei de Gauss (Passo 2) para a esfera escolhida: a carga total contida no interior da superfície é justamente
(a carga puntiforme no centro), portanto
Isolando
,
Passo 7
Interpretação final e sinal/direção:
- A expressão acima é o módulo do campo elétrico a distância
de uma carga pontual . - Como vetor, incluindo a direção radial, podemos escrever
- Se
, aponta para fora (campo divergente). Se , o campo aponta para o centro (a direção radial unitária com sinal negativo).