A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico. Podemos confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o campo elétrico de uma carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma distância r, é dado por E = Q / ( 4 \pi \varepsilon_{0} r^{2} ) (lei de Coulomb).

Passo 1

O enunciado pede que, partindo da lei de Gauss, a gente deduza a expressão do campo elétrico criado por uma carga puntiforme a uma distância r. Ou seja, mostrar que o módulo do campo elétrico é
E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • Há uma única carga puntiforme de valor Q localizada em um ponto (vamos assumir a origem).
  • Queremos o campo elétrico a uma distância r da carga (ou seja, em qualquer ponto da superfície esférica de raio r centrada na carga).
  • Podemos usar a lei de Gauss como ponto de partida.

Passo 2

Escrevendo a lei de Gauss na forma integral (que é a ferramenta que vamos aplicar):
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico vetorial em cada ponto da superfície S.
  • d\mathbf{A} é o elemento vetorial de área da superfície: seu módulo é a área infinitesimal dA e sua direção é a normal externa à superfície.
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície S.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante física).

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana: por causa da simetria do problema (uma carga pontual no centro), a escolha natural é uma esfera de raio r centrada na carga. Explico por quê:
  • Rotacionando o sistema em torno da carga não muda nada (o problema é isotrópico). Logo o campo não pode depender da direção angular: seu módulo só pode depender da distância radial r.
  • Além disso, pelo mesmo argumento de simetria, o campo deve apontar radialmente (para fora se Q>0, para dentro se Q<0). Assim, em qualquer ponto da esfera de raio r o vetor campo tem a direção do vetor radial unitário \hat{\mathbf{r}} e o mesmo módulo E(r).

Passo 4

Escrevendo o campo em função de r e direção:
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf{r}},
onde E(r) é o módulo (positivo) do campo na distância r e \hat{\mathbf{r}} é o vetor unitário radial (aponta para fora). O elemento vetorial de área da esfera vale
d\mathbf{A}= \hat{\mathbf{r}}\, dA,
porque a normal à superfície esférica é a direção radial.

Passo 5

Agora calculamos o fluxo na esfera usando o produto escalar:
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}\, dA = E(r)\, dA,
pois \hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}=1. Integrando sobre toda a superfície esférica,
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\oint_{S} dA = E(r)\cdot ( \text{área da esfera de raio } r).á
A área da esfera de raio r é 4\pi r^{2}. Então
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}.

Passo 6

Aplicando a lei de Gauss (Passo 2) para a esfera escolhida: a carga total contida no interior da superfície é justamente Q (a carga puntiforme no centro), portanto
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r),
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.

Passo 7

Interpretação final e sinal/direção:
  • A expressão acima é o módulo do campo elétrico a distância r de uma carga pontual Q.
  • Como vetor, incluindo a direção radial, podemos escrever
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
  • Se Q>0, \hat{\mathbf{r}} aponta para fora (campo divergente). Se Q<0, o campo aponta para o centro (a direção radial unitária com sinal negativo).

Resposta

E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}

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