(a) Utilize eliminação gaussiana para determinar o vetor solução x desse sistema.
(b) Determine a decomposição LU da matriz A.
(d) Use a matrix inversa de A para determinar o vetor solução x=A^{-1} b desse sistema. Compare com a solução obtida no
item (a).
e pede:
(a) resolver por eliminação gaussiana e encontrar x;
(b) determinar a decomposição A=LU;
(d) calcular x usando A^{-1} e comparar com o item (a).]
Passo 2
Explicando a ideia da eliminação gaussiana (passo-a-passo, sem pular etapas):
Escrevemos a matriz aumentada [A\mid b].
Escolhemos um pivô (aqui o elemento a_{11}=2) e eliminamos abaixo dele usando multiplicadores l_{i1}.
Repetimos na segunda coluna com o pivô u_{22}.
Ao final obtemos uma matriz triangular superior U; daí fazemos substituição regressiva para obter x.
Vou aplicar isso de forma bem detalhada.
Respirei fundo, é comum aparecerem frações estranhas — está tudo certo até aqui.]
Passo 7
Agora a decomposição A=LU. A ideia didática: os multiplicadores usados durante a eliminação formam a parte subdiagonal de L (com 1s na diagonal), e U é a matriz triangular superior que já encontramos. Os multiplicadores foram:
Podemos verificar multiplicando L por U (linha a linha) que se recupera A; essa verificação confirma que A=LU.]
Passo 8
Explicando como obter A^{-1} usando LU: para encontrar A^{-1} resolvemos três sistemas A x^{(j)}=e_j (onde e_j são as colunas da identidade). Como A=LU isso significa resolver, para cada j,
L y = e_j \quad\text{(substituição direta)}, \qquad U x^{(j)} = y \quad\text{(substituição regressiva)}.çãçã
As colunas x^{(j)} formam A^{-1}.
Passo 9
Vou calcular a primeira coluna de [A^{-1}) resolvendo A x^{(1)}=e_1.
Agora calculo x=A^{-1}b para comparar com o item (a). Faço x=b_1\cdot\text{col}_1 + b_2\cdot\text{col}_2 + b_3\cdot\text{col}_3, com b_1=-2, b_2=1, b_3=3:
x = -2\begin{pmatrix}\tfrac{7}{4}\\[2pt]-\tfrac{17}{8}\\[2pt]\tfrac{3}{8}\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{4}\\[2pt]\tfrac{3}{8}\\[2pt]-\tfrac{1}{8}\end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}-2\\[2pt]\tfrac{7}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Somando componente a componente obtemos exatamente