Verifique se o método de Gauss-Seidel converge para o seguinte sistema linear e, em caso positivo resolva-o:
\begin{aligned} 52 x_{1}+20.8 x_{2}+10.4 x_{3} & =104 \\\\ 124.8 x_{1}+109.2 x_{2}+15.6 x_{3} & =390 \\\\ 8.8 x_{1}+8.8 x_{2}+44 x_{3} & =66 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o método de Gauss–Seidel converge para o sistema linear dado e, se convergir, resolver o sistema. O sistema fornecido é:
\begin{aligned} 52 x_{1}+20{,}8 x_{2}+10{,}4 x_{3} & =104,\\[4pt] 124{,}8 x_{1}+109{,}2 x_{2}+15{,}6 x_{3} & =390,\\[4pt] 8{,}8 x_{1}+8{,}8 x_{2}+44 x_{3} & =66. \end{aligned}
Informações relevantes dadas:
a_{11}=52,\; a_{12}=20{,}8,\; a_{13}=10{,}4,
a_{21}=124{,}8,\; a_{22}=109{,}2,\; a_{23}=15{,}6,
a_{31}=8{,}8,\; a_{32}=8{,}8,\; a_{33}=44,
e o vetor de termos independentes é
b=(104,\;390,\;66)^{T}.
Objetivos claros: (1) testar convergência do Gauss–Seidel; (2) se convergir, obter a solução do sistema.]

Passo 2

Vamos verificar convergência usando o critério de Sassenfeld — é um criterio prático e suficiente para garantir que o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial. Vou explicar e aplicar.
Definição (Sassenfeld). Para o sistema Ax=b, definimos sucessivamente os números \beta_i por
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{n}|a_{1j}|,
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Big),\quad i=2,\dots,n.
Se \max_i \beta_i <1, então Gauss–Seidel converge.
Agora calculamos \beta_1,\beta_2,\beta_3 para o nosso sistema.
Cálculo de \beta_1:
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\big(|a_{12}|+|a_{13}|\big) =\frac{1}{52}\big(20{,}8+10{,}4\big) =\frac{31{,}2}{52}=0{,}6.
Cálculo de \beta_2:
\beta_2=\frac{1}{|a_{22}|}\big(|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|\big) =\frac{1}{109{,}2}\big(124{,}8\cdot 0{,}6 + 15{,}6\big).
Calculemos o numerador: 124{,}8\cdot 0{,}6 = 74{,}88. Então
\beta_2=\frac{74{,}88+15{,}6}{109{,}2}=\frac{90{,}48}{109{,}2}\approx 0{,}8286.
Cálculo de \beta_3:
\beta_3=\frac{1}{|a_{33}|}\big(|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2\big) =\frac{1}{44}\big(8{,}8\cdot 0{,}6 + 8{,}8\cdot 0{,}8286\big).
Primeiro termo: 8{,}8\cdot 0{,}6=5{,}28. Segundo termo: 8{,}8\cdot 0{,}8286\approx 7{,}2877.
Então
\beta_3\approx\frac{5{,}28+7{,}2877}{44}=\frac{12{,}5677}{44}\approx 0{,}2856.
Como \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}\approx 0{,}8286<1, o critério de Sassenfeld é satisfeito. Logo, o método de Gauss–Seidel converge para este sistema a partir de qualquer chute inicial. (Comentário amigo: isso significa que você pode usar Gauss–Seidel com confiança — ele vai marchar rumo à solução.)

Passo 3

Para aplicar Gauss–Seidel escrevemos cada incógnita isolada em termos das outras (essa é a fórmula que usamos em iterações):
Da primeira equação:
x_{1}=\frac{1}{52}\big(104-20{,}8\,x_{2}-10{,}4\,x_{3}\big).
Da segunda equação (isolando x_2):
x_{2}=\frac{1}{109{,}2}\big(390-124{,}8\,x_{1}-15{,}6\,x_{3}\big).
Da terceira equação:
x_{3}=\frac{1}{44}\big(66-8{,}8\,x_{1}-8{,}8\,x_{2}\big).
Regra do Gauss–Seidel: num passo k\to k+1 compute x_1^{(k+1)} usando os x_2^{(k)},x_3^{(k)}; em seguida calcule x_2^{(k+1)} usando x_1^{(k+1)} e x_3^{(k)}; finalmente calcule x_3^{(k+1)} usando x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)}.
Se você estivesse na prova e quisesse executar iterações, aplicaria essas fórmulas repetidamente até que a diferença entre iterações sucessivas fosse pequena (por exemplo, norma infinita menor que 10^{-4} ou outro critério).

Passo 4

Para confirmar e também obter a solução exata (útil na prova: às vezes é mais rápido resolver diretamente), vou resolver o sistema por eliminação de Gauss (faço a eliminação de forma detalhada para você ver cada passo aritmético).
Primeiro multiplico todas equações por 5 para eliminar os decimais e trabalhar com inteiros (isso não altera a solução):
\begin{aligned} 260 x_{1}+104 x_{2}+52 x_{3}&=520,\\[4pt] 624 x_{1}+546 x_{2}+78 x_{3}&=1950,\\[4pt] 44 x_{1}+44 x_{2}+220 x_{3}&=330. \end{aligned}
Eliminação da coluna 1 (usar R_2\leftarrow R_2-\tfrac{624}{260}R_1 e R_3\leftarrow R_3-\tfrac{44}{260}R_1). Após os cálculos obtemos (mostro os resultados já simplificados):
\begin{aligned} R_1&:\;260 x_{1}+104 x_{2}+52 x_{3}=520,\\[4pt] R_2'&:\;0+\dfrac{1482}{5}x_{2}-\dfrac{234}{5}x_{3}=702,\\[6pt] R_3'&:\;0+\dfrac{1716}{65}x_{2}+\dfrac{13728}{65}x_{3}=242. \end{aligned}
Agora eliminamos a segunda coluna em R_3' usando R_3''\leftarrow R_3'-\dfrac{\tfrac{1716}{65}}{\tfrac{1482}{5}}R_2'. Fazendo essa operação com cuidado (colocando tudo sobre denominadores comuns), obtemos uma equação só em x_3:
\left(\frac{691548}{3211}\right)x_{3}=\frac{576290}{3211}.
Dividindo ambos os lados (observe que os denominadores iguais cancelam),
x_{3}=\frac{576290}{691548}.
Simplificando essa fração (dividindo numerador e denominador por 57629) resulta
x_{3}=\frac{5}{6}.
Com x_{3}=\tfrac{5}{6} vamos à segunda equação simplificada (antes de eliminar):
\frac{1482}{5}x_{2}-\frac{234}{5}x_{3}=702.
Multiplicando por 5:
1482\,x_{2}-234\,x_{3}=3510.
Substituindo x_{3}=\tfrac{5}{6}:
1482\,x_{2}-234\cdot\frac{5}{6}=3510 \quad\Rightarrow\quad 1482\,x_{2}-195=3510,
logo
1482\,x_{2}=3705\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{3705}{1482}=\frac{5}{2}.
Finalmente usamos a primeira equação (multiplicada por 5):
260 x_{1}+104 x_{2}+52 x_{3}=520.
Substituindo x_{2}=\tfrac{5}{2} e x_{3}=\tfrac{5}{6}:
260 x_{1}+104\cdot\frac{5}{2}+52\cdot\frac{5}{6}=520.
Calcule os termos:
104\cdot\frac{5}{2}=260,\qquad 52\cdot\frac{5}{6}=\frac{260}{6}=\frac{130}{3}.
Então
260 x_{1}+260+\frac{130}{3}=520 \quad\Rightarrow\quad 260 x_{1}=520-260-\frac{130}{3}=\frac{650}{3}.
Divide-se por 260:
x_{1}=\frac{650}{3\cdot 260}=\frac{650}{780}=\frac{5}{6}.
Portanto, a solução exata do sistema é
x_{1}=\frac{5}{6},\quad x_{2}=\frac{5}{2},\quad x_{3}=\frac{5}{6}.
Observação final e motivacional: confirmamos que o método de Gauss–Seidel converge (critério de Sassenfeld) — então se você aplicar as fórmulas do Passo 3 iterativamente vai ver as iterações aproximarem-se justamente desses valores. Se estiver com pressa na prova e puder, resolver por eliminação (como fiz para obter exatidão) dá a resposta direta; se precisa implementar numericamente, Gauss–Seidel vai chegar a essa solução.]

Resposta

\,x_{1}=\dfrac{5}{6}
\,x_{2}=\dfrac{5}{2}
\,x_{3}=\dfrac{5}{6}

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