Verifique se o método de Gauss-Seidel converge para o seguinte sistema linear e, em caso positivo resolva-o:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o método de Gauss–Seidel converge para o sistema linear dado e, se convergir, resolver o sistema. O sistema fornecido é:
Informações relevantes dadas:
e o vetor de termos independentes é
Objetivos claros: (1) testar convergência do Gauss–Seidel; (2) se convergir, obter a solução do sistema.]
Passo 2
Vamos verificar convergência usando o critério de Sassenfeld — é um criterio prático e suficiente para garantir que o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial. Vou explicar e aplicar.
Definição (Sassenfeld). Para o sistema
, definimos sucessivamente os números
por
Se
, então Gauss–Seidel converge.
Agora calculamos
para o nosso sistema.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Calculemos o numerador:
. Então
Cálculo de
:
Primeiro termo:
. Segundo termo:
.
Então
Então
Como
, o critério de Sassenfeld é satisfeito. Logo, o método de Gauss–Seidel converge para este sistema a partir de qualquer chute inicial. (Comentário amigo: isso significa que você pode usar Gauss–Seidel com confiança — ele vai marchar rumo à solução.)
Passo 3
Para aplicar Gauss–Seidel escrevemos cada incógnita isolada em termos das outras (essa é a fórmula que usamos em iterações):
Da primeira equação:
Da segunda equação (isolando
):
Da terceira equação:
Regra do Gauss–Seidel: num passo
compute
usando os
; em seguida calcule
usando
e
; finalmente calcule
usando
.
Se você estivesse na prova e quisesse executar iterações, aplicaria essas fórmulas repetidamente até que a diferença entre iterações sucessivas fosse pequena (por exemplo, norma infinita menor que
ou outro critério).
Passo 4
Para confirmar e também obter a solução exata (útil na prova: às vezes é mais rápido resolver diretamente), vou resolver o sistema por eliminação de Gauss (faço a eliminação de forma detalhada para você ver cada passo aritmético).
Primeiro multiplico todas equações por
para eliminar os decimais e trabalhar com inteiros (isso não altera a solução):
Eliminação da coluna 1 (usar
e
). Após os cálculos obtemos (mostro os resultados já simplificados):
Agora eliminamos a segunda coluna em
usando
. Fazendo essa operação com cuidado (colocando tudo sobre denominadores comuns), obtemos uma equação só em
:
Dividindo ambos os lados (observe que os denominadores iguais cancelam),
Simplificando essa fração (dividindo numerador e denominador por
) resulta
Com
vamos à segunda equação simplificada (antes de eliminar):
Multiplicando por
:
Substituindo
:
logo
Finalmente usamos a primeira equação (multiplicada por 5):
Substituindo
e
:
Calcule os termos:
Então
Divide-se por
:
Portanto, a solução exata do sistema é
Observação final e motivacional: confirmamos que o método de Gauss–Seidel converge (critério de Sassenfeld) — então se você aplicar as fórmulas do Passo 3 iterativamente vai ver as iterações aproximarem-se justamente desses valores. Se estiver com pressa na prova e puder, resolver por eliminação (como fiz para obter exatidão) dá a resposta direta; se precisa implementar numericamente, Gauss–Seidel vai chegar a essa solução.]