Elimine o módulo em
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá: ele pede para “eliminar o módulo” na expressão
. Ou seja, escrever essa mesma expressão sem o símbolo de valor absoluto, como uma expressão sem
, mas válida para todos os
.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão é
. - Os argumentos dos módulos são as funções lineares
e . - Os zeros dessas funções (onde o sinal pode mudar) são
e .
Passo 2
Conceito-ferramenta que vamos usar (explicado devagar e com jeitinho): definição de valor absoluto. Para qualquer número real
Isto significa que, para cada argumento do módulo, devemos verificar se esse argumento é não negativo (então o módulo é ele mesmo) ou negativo (então o módulo vira o oposto). No caso de
e
.
Dica de prova/tempo de prova: identifique primeiro os pontos onde os argumentos do módulo se anulam; aí separamos a reta real em intervalos e escolhemos o sinal em cada intervalo (pode testar um ponto dentro do intervalo).]
Passo 3
Encontrar os pontos onde os sinais dos argumentos mudam:
- Para
o zero é em . - Para
o zero é em .
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
(Escolhi as bordas assim para cobrir todos os
; em
ou
um dos argumentos vale zero e o módulo é simplesmente zero aí.)
Passo 4
Determinar o sinal de cada argumento em cada intervalo. Vou fazer isso de forma direta (pode também testar um ponto em cada intervalo):
-
Intervalo
: -
, logo . -
, logo .
-
-
Intervalo
: -
mas como temos . -
e para é ; portanto para todo tem-se .
-
-
Intervalo
: -
. -
, logo .
-
Resumindo:
- Em
: ambos negativos. - Em
: negativo e não negativo. - Em
: ambos não negativos.
Passo 5
Agora aplicamos a definição do módulo em cada intervalo e simplificamos:
Caso
(ambos negativos). Usando a definição,
Somando:
Passo 6
Caso
(
negativo e
não negativo). Então
Somando:
Observe que nesse intervalo a soma é constante igual a
.
Passo 7
Caso
(ambos não negativos). Então
Somando:
Passo 8
Checagem rápida nas fronteiras (é uma boa prática em prova):
- Em
: pela fórmula do caso teríamos ; pela fórmula do caso do meio temos . Coincidem — portanto a função é contínua em . - Em
: pela fórmula do caso do meio temos ; pelo caso temos . Coincidem — função contínua em .
Tudo consistente.