Elimine o módulo em |x-1|+|x+2|.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: ele pede para “eliminar o módulo” na expressão |x-1|+|x+2|. Ou seja, escrever essa mesma expressão sem o símbolo de valor absoluto, como uma expressão sem |\cdot|, mas válida para todos os x\in\mathbb{R}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão é |x-1|+|x+2|.
  • Os argumentos dos módulos são as funções lineares x-1 e x+2.
  • Os zeros dessas funções (onde o sinal pode mudar) são x=1 e x=-2.

Passo 2

Conceito-ferramenta que vamos usar (explicado devagar e com jeitinho): definição de valor absoluto. Para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Isto significa que, para cada argumento do módulo, devemos verificar se esse argumento é não negativo (então o módulo é ele mesmo) ou negativo (então o módulo vira o oposto). No caso de |x-1|+|x+2|\] vamos aplicar essa definição aos dois argumentos \(x-1 e x+2.
Dica de prova/tempo de prova: identifique primeiro os pontos onde os argumentos do módulo se anulam; aí separamos a reta real em intervalos e escolhemos o sinal em cada intervalo (pode testar um ponto dentro do intervalo).]

Passo 3

Encontrar os pontos onde os sinais dos argumentos mudam:
  • Para x-1 o zero é em x=1.
  • Para x+2 o zero é em x=-2.
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
(-\infty,-2),\qquad [-2,1),\qquad [1,\infty).
(Escolhi as bordas assim para cobrir todos os x; em x=-2 ou x=1 um dos argumentos vale zero e o módulo é simplesmente zero aí.)

Passo 4

Determinar o sinal de cada argumento em cada intervalo. Vou fazer isso de forma direta (pode também testar um ponto em cada intervalo):
  • Intervalo x<-2:
    • x-1< -2-1 = -3<0, logo x-1<0.
    • x+2< -2+2 = 0, logo x+2<0.
  • Intervalo -2\le x<1:
    • x-1 \le 1-1=0 mas como x<1 temos x-1<0.
    • x+2 \ge -2+2=0 e para x>-2 é >0; portanto para todo -2\le x<1 tem-se x+2\ge0.
  • Intervalo x\ge1:
    • x-1\ge0.
    • x+2\ge1+2=3>0, logo x+2>0.
Resumindo:
  • Em x<-2: ambos negativos.
  • Em -2\le x<1: x-1 negativo e x+2 não negativo.
  • Em x\ge1: ambos não negativos.

Passo 5

Agora aplicamos a definição do módulo em cada intervalo e simplificamos:
Caso x<-2 (ambos negativos). Usando a definição,
|x-1|=-(x-1)=1-x,\qquad |x+2|=-(x+2)=-x-2.
Somando:
|x-1|+|x+2|=(1-x)+(-x-2)=-2x-1.

Passo 6

Caso -2\le x<1 ( x-1 negativo e x+2 não negativo). Então
|x-1|=-(x-1)=1-x,\qquad |x+2|=x+2.
Somando:
|x-1|+|x+2|=(1-x)+(x+2)=3.
Observe que nesse intervalo a soma é constante igual a 3.

Passo 7

Caso x\ge1 (ambos não negativos). Então
|x-1|=x-1,\qquad |x+2|=x+2.
Somando:
|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1.

Passo 8

Checagem rápida nas fronteiras (é uma boa prática em prova):
  • Em x=-2: pela fórmula do caso x<-2 teríamos -2(-2)-1=4-1=3; pela fórmula do caso do meio temos 3. Coincidem — portanto a função é contínua em x=-2.
  • Em x=1: pela fórmula do caso do meio temos 3; pelo caso x\ge1 temos 2\cdot1+1=3. Coincidem — função contínua em x=1.
Tudo consistente.

Resposta

|x-1|+|x+2|= \begin{cases} -2x-1, & x< -2,\\[4pt] 3, & -2\le x<1,\\[4pt] 2x+1, & x\ge 1. \end{cases}]

Exercícios relacionados