Resolva, em \mathbb{R}, as inequações modulares. |3 x-5| \leq 0
Passo 1
O enunciado pede: resolver, em \mathbb{R}, a inequação modular
|3x-5|\leq 0.
Informações dadas:
A expressão dentro do valor absoluto é 3x-5.
Queremos todos os números reais x que satisfazem a desigualdade dada.
Passo 2
Relembrando a definição e uma propriedade fundamental do valor absoluto (coisa que cai sempre nas provas e é útil aqui): para qualquer número real t vale
|t|\geq 0
com igualdade se, e somente se,
t=0.
Em palavras: o valor absoluto de um número nunca é negativo; ele é igual a zero somente quando o número dentro do módulo é zero.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso: |3x-5| é sempre maior ou igual a zero. A desigualdade |3x-5|\leq 0 força |3x-5| a ser ao mesmo tempo maior ou igual a zero e menor ou igual a zero, ou seja,
|3x-5|=0.
Logo precisamos resolver a equação obtida impondo que a expressão dentro do módulo seja zero.
Passo 4
Resolver a equação
3x-5=0.
Isolando x: somar 5 em ambos os lados e dividir por 3. Passo a passo:
3x=5
x=\frac{5}{3}.
Passo 5
Verificação rápida: substituir x=\dfrac{5}{3} em |3x-5|.
3\cdot\frac{5}{3}-5=5-5=0,
portanto
\left|3\cdot\frac{5}{3}-5\right|=|0|=0,
que satisfaz |3x-5|\leq 0. Não existe outro x que torne |3x-5|=0, porque a única solução da equação linear 3x-5=0 é x=\dfrac{5}{3}.
Passo 6
Conclusão lógica: a única solução da inequação dada é o número real