(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
,
e pede: (a) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana e (b) esboçar a curva indicando a direção do traçado quando cresce. O conteúdo envolve eliminação de parâmetro em curvas e identificação de assíntotas e direção do traçado.
e pede: (a) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana e (b) esboçar a curva indicando a direção do traçado quando
Passo 2
Para eliminar o parâmetro, note que de
segue
Substituindo em
obtemos
Como
, temos
, ou seja,
. Logo a forma cartesiana é
Passo 3
A curva é um ramo da hipérbole rectangular com assíntotas
(vertical) e
(horizontal). Para esboçar, desenhe os eixos, trace a reta
pontilhada e o eixo
, e depois o ramo que fica no primeiro quadrante, aproximando-se de
quando
e de
quando
.
Passo 4
Para identificar a direção:
quando , então
e
;
quando , então
e
.
Portanto, a seta deve começar lá em cima, próxima a , e descer para a direita, aproximando-se do eixo
.
quando
quando
Portanto, a seta deve começar lá em cima, próxima a
Resposta
(a)
.
(b) É o ramo em da hipérbole com assíntotas
e
; o traçado vai de
descendo para a direita em direção a
.
(b) É o ramo em