(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=t+2, y=1 / t, t>0

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
;x = t + 2,;y = tfrac1t,;t>0,
e pede: (a) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana e (b) esboçar a curva indicando a direção do traçado quando t cresce. O conteúdo envolve eliminação de parâmetro em curvas e identificação de assíntotas e direção do traçado.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, note que de ;x = t + 2 segue
t = x - 2
Substituindo em ;y = tfrac1t obtemos
y = 1,x - 2,
Como t>0, temos x-2>0, ou seja, x>2. Logo a forma cartesiana é
y = 1x-2, x>2

Passo 3

A curva é um ramo da hipérbole rectangular com assíntotas
;x=2 (vertical) e ;y=0 (horizontal). Para esboçar, desenhe os eixos, trace a reta x=2 pontilhada e o eixo y=0, e depois o ramo que fica no primeiro quadrante, aproximando-se de x=2 quando yto+infty e de y=0 quando xto+infty.

Passo 4

Para identificar a direção:
quando tto0^+, então xto2^+ e yto+infty;
quando tto+infty, então xto+infty e yto0^+.
Portanto, a seta deve começar lá em cima, próxima a x=2, e descer para a direita, aproximando-se do eixo y=0.

Resposta

(a) y = 1x-2,;x>2.
(b) É o ramo em x>2,;y>0 da hipérbole com assíntotas x=2 e y=0; o traçado vai de l(2^+, +inftyr) descendo para a direita em direção a l(+infty,0^+r).

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