Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos e que sum bn seja convergente.
(a) Se an>bn para todo n, o que você pode dizer sobre sum an ? Por quê?
(b) Se an<bn para todo n, o que você pode dizer sobre sum an ? Por quê?

Passo 1

O enunciado apresenta duas séries de termos positivos, sum an e sum bn, sabendo que sum bn converge. O conteúdo aqui é o teste de comparação direta para séries de termos não-negativos, que diz:
  • Se 0<= an<= bn e sum bn converge então sum an converge.
  • Se 0<= bn<= an e sum bn diverge então sum an diverge.

Passo 2

(a) Se an>bn para todo n, não há condição do teste de comparação que permita concluir convergência nem divergência de sum an. O teste exige an<= bn para garantir convergência, ou exige divergência de sum bn para garantir divergência de sum an. Aqui temos justamente o caso inverso, série maior que uma convergente, e isso é inconclusivo.

Passo 3

Para ilustrar essa inconclusão, apresento dois exemplos com a mesma sum bn convergente e termos an>bn:
bn = 12^n, sumn=1^infty bn = 1
  1. Escolhendo
an = 12^n + 1n^2,
temos sum an = sum tfrac12^n + sum tfrac1n^2, que converge (soma de duas séries convergentes).
2. Escolhendo
an = 12^n + 1n,
temos sum an = sum tfrac12^n + sum tfrac1n, e como sum 1/n diverge, sum an também diverge.

Passo 4

(b) Se an<bn para todo n, então cabem as hipóteses do teste de comparação direta para convergência: 0<= an<= bn e sum bn converge. Logo por este teste
sumn=1^infty an conver>=

Resposta

(a) Não se pode concluir nada: sum an pode tanto convergir quanto divergir.
(b) sum an converge, por comparação direta com sum bn.

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