Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja convergente.
(a) Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado apresenta duas séries de termos positivos,
e
, sabendo que
converge. O conteúdo aqui é o teste de comparação direta para séries de termos não-negativos, que diz:
- Se
e converge então converge. - Se
e diverge então diverge.
Passo 2
(a) Se
para todo
, não há condição do teste de comparação que permita concluir convergência nem divergência de
. O teste exige
para garantir convergência, ou exige divergência de
para garantir divergência de
. Aqui temos justamente o caso inverso, série maior que uma convergente, e isso é inconclusivo.
Passo 3
Para ilustrar essa inconclusão, apresento dois exemplos com a mesma
convergente e termos
:
- Escolhendo
temos
, que converge (soma de duas séries convergentes).
2. Escolhendo
2. Escolhendo
temos
, e como
diverge,
também diverge.
Passo 4
(b) Se
para todo
, então cabem as hipóteses do teste de comparação direta para convergência:
e
converge. Logo por este teste
Resposta
(a) Não se pode concluir nada:
pode tanto convergir quanto divergir.
(b) converge, por comparação direta com
.
(b)