(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=e^-t, y=e^t

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = e^-t, y = e^t,
pede (a) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana e (b) esboçar a curva indicando a direção em que ela é traçada conforme t aumenta. O conteúdo envolve eliminação de parâmetro e esboço de curvas paramétricas com orientação.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, note que
x = e^-t e y = e^t
Multiplicando as duas expressões obtemos
x,y = e^-t,e^t = 1

Passo 3

Logo, a equação cartesiana da curva é
x,y = 1,
que é uma hipérbole equilátera no primeiro quadrante, pois x>0 e y>0 para todo tinR.

Passo 4

Para entender o esboço e a orientação, observe:
  • Quando tto -infty, x = e^-tto +infty e y = e^tto 0^+: a curva está próxima ao eixo x à direita.
  • Quando tto +infty, x = e^-tto 0^+ e y = e^tto +infty: a curva está próxima ao eixo y acima.
    Portanto, à medida que t cresce, a curva é traçada do ramo direito junto ao eixo x em direção ao ramo superior junto ao eixo y.

Resposta

(a) ;x,y = 1
(b) É a hipérbole x,y=1 no primeiro quadrante, traçada de forma que, conforme t aumenta, o ponto se move do lado direito (próximo ao eixo x) para cima (próximo ao eixo y).

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