(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
pede (a) eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana e (b) esboçar a curva indicando a direção em que ela é traçada conforme
aumenta. O conteúdo envolve eliminação de parâmetro e esboço de curvas paramétricas com orientação.
Passo 2
Para eliminar o parâmetro, note que
Multiplicando as duas expressões obtemos
Passo 3
Logo, a equação cartesiana da curva é
que é uma hipérbole equilátera no primeiro quadrante, pois
e
para todo
.
Passo 4
Para entender o esboço e a orientação, observe:
- Quando
, e : a curva está próxima ao eixo à direita. - Quando
, e : a curva está próxima ao eixo acima.
Portanto, à medida quecresce, a curva é traçada do ramo direito junto ao eixo em direção ao ramo superior junto ao eixo .
Resposta
(a)
(b) É a hipérbole no primeiro quadrante, traçada de forma que, conforme
aumenta, o ponto se move do lado direito (próximo ao eixo
) para cima (próximo ao eixo
).
(b) É a hipérbole