(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=\operatorname{sec} \theta, \quad y=\operatorname{tg} \theta \quad-\pi / 2<\theta<\pi / 2

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas
x=\operatorname{sec}\theta,\qquad y=\tan\theta, \qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}.
Pede-se:
(a) eliminar o parâmetro \theta e obter uma equação cartesiana da curva;
(b) esboçar a curva e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando \theta aumenta.
Lista das informações relevantes:
  • As expressões paramétricas x=\operatorname{sec}\theta e y=\tan\theta válidas para \theta no intervalo dado.
  • O intervalo -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} implica que \cos\theta>0 nessa faixa, logo \operatorname{sec}\theta>0.

Passo 2

Conhecimento trigonométrico essencial (já que queremos eliminar \theta): a identidade pitagórica entre tangente e secante:
1+\tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta.
Explicando essa identidade de forma simples: parte da identidade básica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. Dividindo ambos os lados por \cos^2\theta obtém-se
\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\frac{1}{\cos^2\theta},
ou seja
\tan^2\theta+1=\operatorname{sec}^2\theta.
Aqui \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}.

Passo 3

Agora substituímos as expressões paramétricas na identidade para eliminar \theta. Como y=\tan\theta e x=\operatorname{sec}\theta, da identidade temos
1+\tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta
que se transforma em
1+y^2=x^2.
Rearranjando:
x^2-y^2=1.
Essa é a equação cartesiana da curva. Além disso, pelo intervalo dado sabemos que \cos\theta>0, então \operatorname{sec}\theta>0 e portanto
x>0.
Logo a curva corresponde ao ramo direito da hipérbole de equação \,x^2-y^2=1\,.

Passo 4

Vamos entender geometricamente essa hipérbole e dar pontos para esboçar (isto ajuda muito em prova). Calculemos alguns pontos obtidos substituindo valores fáceis de \theta:
  • Para \theta=0: \;x=\sec0=1,\; y=\tan0=0. Ponto (1,0).
  • Para \theta=\pm\frac{\pi}{4}: \;\operatorname{sec}\frac{\pi}{4}=\sqrt{2},\; \tan\frac{\pi}{4}=1. Pontos \bigl(\sqrt{2},1\bigr) e \bigl(\sqrt{2},-1\bigr).
  • Para \theta=\pm\frac{\pi}{3}: \;\operatorname{sec}\frac{\pi}{3}=2,\; \tan\frac{\pi}{3}=\pm\sqrt{3}. Pontos (2,\sqrt{3}) e (2,-\sqrt{3}).
Todos esses pontos satisfazem \,x^2-y^2=1, como pode verificar substituindo.

Passo 5

Para indicar a direção em que a curva é traçada quando \theta aumenta, observe como y e x variam com \theta. Derivando em relação a \theta:
\frac{dy}{d\theta}=\operatorname{sec}^2\theta>0\quad\text{(para todo \(\theta\) no intervalo)},
ou seja, y é uma função estritamente crescente de \theta. Portanto, à medida que \theta aumenta, o valor de y aumenta continuamente, indo de -\infty (quando \theta\to -\tfrac{\pi}{2}^+) até +\infty (quando \theta\to \tfrac{\pi}{2}^-).
Sobre x, tem-se
\frac{dx}{d\theta}=\operatorname{sec}\theta\tan\theta,
que é negativo para \theta<0, zero em \theta=0 e positivo para \theta>0. Isso significa que à medida que \theta aumenta desde -\tfrac{\pi}{2} até 0 o ponto se move para a esquerda ao longo da hipérbole até atingir (1,0); então para \theta>0 o ponto volta a mover-se para a direita. Mas o importante para a direção é que y cresce sempre, então o traço segue do “infinito inferior” para o “infinito superior” passando por (1,0).
Resumindo a orientação: quando \theta aumenta a curva é percorrida do ramo inferior para o ramo superior da hipérbole direita, isto é, de y\to -\infty para y\to+\infty, passando por (1,0). No esboço, representa-se a hipérbole x^2-y^2=1 para x>0 e coloca-se uma seta apontando para cima ao longo do ramo direito (de baixo para cima).

Passo 6

Dicas práticas para desenhar rápido na prova:
  • Trace os eixos x e y.
  • Marque o vértice (1,0).
  • Coloque os pontos \bigl(\sqrt{2},\pm1\bigr) e (2,\pm\sqrt{3}) para dar a curvatura.
  • Desenhe o ramo direito da hipérbole passando por esses pontos.
  • Desenhe uma seta ao longo do ramo apontando de baixo para cima (indicando aumento de \theta).

Resposta

(a) \,x^2-y^2=1,\;x>0.
(b) Ramo direito da hipérbole \,x^2-y^2=1; a curva é traçada de y\to -\infty para y\to+\infty quando \theta aumenta (passe por (1,0) com seta apontando para cima).

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