(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado nos dá as equações paramétricas
Pede-se:
(a) eliminar o parâmetro e obter uma equação cartesiana da curva;
(b) esboçar a curva e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando aumenta.
(a) eliminar o parâmetro
(b) esboçar a curva e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando
Lista das informações relevantes:
- As expressões paramétricas
e válidas para no intervalo dado. - O intervalo
implica que nessa faixa, logo .
Passo 2
Conhecimento trigonométrico essencial (já que queremos eliminar
): a identidade pitagórica entre tangente e secante:
Explicando essa identidade de forma simples: parte da identidade básica
. Dividindo ambos os lados por
obtém-se
ou seja
Aqui
e
.
Passo 3
Agora substituímos as expressões paramétricas na identidade para eliminar
. Como
e
, da identidade temos
que se transforma em
Rearranjando:
Essa é a equação cartesiana da curva. Além disso, pelo intervalo dado sabemos que
, então
e portanto
Logo a curva corresponde ao ramo direito da hipérbole de equação
.
Passo 4
Vamos entender geometricamente essa hipérbole e dar pontos para esboçar (isto ajuda muito em prova). Calculemos alguns pontos obtidos substituindo valores fáceis de
:
- Para
: . Ponto . - Para
: . Pontos e . - Para
: . Pontos e .
Todos esses pontos satisfazem
, como pode verificar substituindo.
Passo 5
Para indicar a direção em que a curva é traçada quando
aumenta, observe como
e
variam com
. Derivando em relação a
:
ou seja,
é uma função estritamente crescente de
. Portanto, à medida que
aumenta, o valor de
aumenta continuamente, indo de
(quando
) até
(quando
).
Sobre
, tem-se
que é negativo para
, zero em
e positivo para
. Isso significa que à medida que
aumenta desde
até
o ponto se move para a esquerda ao longo da hipérbole até atingir
; então para
o ponto volta a mover-se para a direita. Mas o importante para a direção é que
cresce sempre, então o traço segue do “infinito inferior” para o “infinito superior” passando por
.
Resumindo a orientação: quando
aumenta a curva é percorrida do ramo inferior para o ramo superior da hipérbole direita, isto é, de
para
, passando por
. No esboço, representa-se a hipérbole
para
e coloca-se uma seta apontando para cima ao longo do ramo direito (de baixo para cima).
Passo 6
Dicas práticas para desenhar rápido na prova:
- Trace os eixos
e . - Marque o vértice
. - Coloque os pontos
e para dar a curvatura. - Desenhe o ramo direito da hipérbole passando por esses pontos.
- Desenhe uma seta ao longo do ramo apontando de baixo para cima (indicando aumento de
).
Resposta
(a)
(b) Ramo direito da hipérbole ; a curva é traçada de
para
quando
aumenta (passe por
com seta apontando para cima).
(b) Ramo direito da hipérbole