Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva parametrizada
e
, com
. Esboce a curva e calcule o comprimento de arco do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, manda ver no enunciado: a curva tá dada por
O que a gente precisa fazer é:
1) eliminar o parâmetro
2) esboçar essa curva;
3) calcular o comprimento de arco entre
Pra isso vamos usar: manipulação algébrica, noções de derivada e a fórmula de comprimento de arco de
Passo 2
Eliminando o parâmetro:
- De
tiramos . - Substituímos em
:
Pronto, a equação cartesiana é
Passo 3
Esboço da curva
com
:
- É a “metade direita” da parábola padrão.
- Para
temos , para vem .
Desenhe uma parábola subindo suave a partir da origem rumo a cima, só que só o lado direito.
Passo 4
Comprimento de arco de
a
em
:
- Fórmula de comprimento de arco para
: - Aqui
dá . Logo - Para integrar
usamos a primitiva conhecida No nosso caso , , . O resultado final é - Avaliando de 1 a 2:
Resposta
Equação cartesiana:
Esboço: metade direita da parábola
, passa por
e
.
Comprimento de arco de a
:
Comprimento de arco de