Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva parametrizada x=t^-1 e y=t^-2, com t>0. Esboce a curva e calcule o comprimento de arco do ponto (1,1) ao ponto (2,4).

Passo 1

Beleza, manda ver no enunciado: a curva tá dada por
x=t^-1, y=t^-2, t>0
O que a gente precisa fazer é:
1) eliminar o parâmetro pra virar uma equação em e (cartesiana);
2) esboçar essa curva;
3) calcular o comprimento de arco entre e .
Pra isso vamos usar: manipulação algébrica, noções de derivada e a fórmula de comprimento de arco de .

Passo 2

Eliminando o parâmetro:
  1. De y = l(t^-1r)^-2 = l(tfrac1xr)^-2 = x^2 tiramos y = x^2, x>0 .
  2. Substituímos em :
Pronto, a equação cartesiana é

Passo 3

Esboço da curva com :
  • É a “metade direita” da parábola padrão.
  • Para temos , para vem .
    Desenhe uma parábola subindo suave a partir da origem rumo a cima, só que só o lado direito.

Passo 4

Comprimento de arco de L=integralx1^x2raiz1+l(f'(x)r)^2,dx a L=integral1^2raiz1+(2x)^2,dx =integral1^2raiz1+4x^2,dx em integralraiza^2+u^2,du =u2raiza^2+u^2+a^22ln!l(u+raiza^2+u^2r)+C :
  1. Fórmula de comprimento de arco para integralraiz1+4x^2,dx =x2raiz1+4x^2 +14ln!l(2x+raiz1+4x^2r)+C : L =l[tfracx2raiz1+4x^2+tfrac14lnl(2x+raiz1+4x^2r)r]1^2
  2. Aqui =l(raiz17+tfrac14ln(4+raiz17)r) -l(tfracraiz52+tfrac14ln(2+raiz5)r) . Logo
  3. Para integrar usamos a primitiva conhecida No nosso caso , , . O resultado final é
  4. Avaliando de 1 a 2:

Resposta

Equação cartesiana:
y = x^2, x>0
Esboço: metade direita da parábola L =raiz17-raiz52 +14l[ln(4+raiz17)-ln(2+raiz5)r] , passa por e .
Comprimento de arco de a :

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