Seja um triângulo e sejam e as pontas médios de e , respectivamente. Mostre que é paralelo e tem comprimento igual à metade do comprimento de A B. ou seja,
M N=12 A B
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um triângulo ABC onde M e N são os pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Nosso objetivo é mostrar que o vetor MN é paralelo ao vetor AB e que o comprimento de MN é metade do comprimento de AB. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e propriedades dos pontos médios em triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o triângulo ABC no plano cartesiano. Vamos atribuir coordenadas aos pontos:
Seja A(ax, ay)
Seja B(bx, by)
Seja C(cx, cy)
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos médios M e N:
O ponto médio M de AC tem coordenadas:
M(ax + cx2, ay + cy2)
O ponto médio N de BC tem coordenadas:
N(bx + cx2, by + cy2)
Passo 4
Com as coordenadas de M e N definidas, vamos calcular o vetor MN. Para isso, subtraímos as coordenadas de M das de N:
MN = (bx + cx2 - ax + cx2, by + cy2 - ay + cy2)
Simplificando:
MN = (bx - ax2, by - ay2)
Passo 5
Agora, vamos calcular o vetor AB. Subtraímos as coordenadas de A das de B:
AB = (bx - ax, by - ay)
Passo 6
Observamos que MN é igual a metade do vetor AB:
MN = 12 AB
Isso mostra que MN é paralelo a AB porque um é múltiplo escalar do outro, e que o comprimento de MN é metade do comprimento de AB.
Resposta
Portanto, mostramos que:
MN = 12 AB
Ou seja, o vetor MN é paralelo e tem metade do comprimento do vetor AB.