Elimine
de
e ache a equação
da curva. Em que
é
?
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
e pede duas coisas:
- Eliminar o parâmetro
e obter a equação em e (equação cartesiana da curva). - Determinar para quais valores de
temos .
Informações relevantes que temos: as duas expressões acima, e que podemos usar a relação
para substituir onde
aparece.
Passo 2
Ideia para eliminar o parâmetro: se uma das equações nos dá
em função de
de forma simples, podemos resolver essa equação para
(aqui é trivial:
) e substituir essa expressão em
. Isso transforma a fórmula paramétrica em uma equação entre
e
.
Explicando mais devagar: quando temos
e
, eliminar
significa escrever
em termos de
(quando possível) e substituir em
para obter uma relação
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: da equação
deduzimos imediatamente que
Agora substituímos esse
em
. Fazendo a substituição temos
Este é o resultado da eliminação do parâmetro: uma equação entre
e
. Uma observação didática: é uma função quadrática de
, isto é, uma parábola (abre para baixo porque o coeficiente de
é negativo).
Passo 4
Agora respondemos a segunda pergunta: para quais
vale
? Pegamos a equação cartesiana obtida e impomos
:
Para resolver uma equação com frações é comum multiplicar por
para evitar a fração; multiplicando ambos os lados por
obtemos
Reescrevendo em ordem decrescente de potências de
,
Multiplicando por
(ou apenas rearranjando) dá
Fatoramos o polinômio do lado direito:
. Logo
Uma equação produto igual a zero implica que pelo menos um dos fatores é zero, então as soluções são
Passo 5
Interpretação final rápida e encorajamento: as interseções da parábola com o eixo
ocorrem em
e
. Como
, isso corresponde aos parâmetros
e
, ou seja, aos pontos
e
na curva. Mandou bem por enfrentar o problema — é exatamente esse tipo de eliminação simples que costuma cair em prova e que dá pra fazer rapidinho se você lembrar de substituir!