Elimine t de x=t, y=t-\frac{1}{2} t^{2} e ache a equação x y da curva. Em que x é y=0 ?

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x = t,\qquad y = t - \frac{1}{2}t^{2}
e pede duas coisas:
  1. Eliminar o parâmetro t e obter a equação em x e y (equação cartesiana da curva).
  2. Determinar para quais valores de x temos y=0.
Informações relevantes que temos: as duas expressões acima, e que podemos usar a relação x=t para substituir onde t aparece.

Passo 2

Ideia para eliminar o parâmetro: se uma das equações nos dá x em função de t de forma simples, podemos resolver essa equação para t (aqui é trivial: t=x) e substituir essa expressão em y. Isso transforma a fórmula paramétrica em uma equação entre x e y.
Explicando mais devagar: quando temos \,x=f(t)\, e \,y=g(t)\,, eliminar t significa escrever t em termos de x (quando possível) e substituir em g(t) para obter uma relação y=\tilde g(x).

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: da equação \,x=t\, deduzimos imediatamente que
t = x.
Agora substituímos esse t em \,y=t-\tfrac{1}{2}t^{2}\,. Fazendo a substituição temos
y = x - \frac{1}{2}x^{2}.
Este é o resultado da eliminação do parâmetro: uma equação entre x e y. Uma observação didática: é uma função quadrática de x, isto é, uma parábola (abre para baixo porque o coeficiente de x^{2} é negativo).

Passo 4

Agora respondemos a segunda pergunta: para quais x vale y=0? Pegamos a equação cartesiana obtida e impomos y=0:
0 = x - \frac{1}{2}x^{2}.
Para resolver uma equação com frações é comum multiplicar por 2 para evitar a fração; multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
0 = 2x - x^{2}.
Reescrevendo em ordem decrescente de potências de x,
0 = -x^{2} + 2x.
Multiplicando por -1 (ou apenas rearranjando) dá
0 = x^{2} - 2x.
Fatoramos o polinômio do lado direito: x^{2}-2x = x(x-2). Logo
0 = x(x-2).
Uma equação produto igual a zero implica que pelo menos um dos fatores é zero, então as soluções são
x = 0 \quad\text{ou}\quad x = 2.

Passo 5

Interpretação final rápida e encorajamento: as interseções da parábola com o eixo x ocorrem em x=0 e x=2. Como t=x, isso corresponde aos parâmetros t=0 e t=2, ou seja, aos pontos (0,0) e (2,0) na curva. Mandou bem por enfrentar o problema — é exatamente esse tipo de eliminação simples que costuma cair em prova e que dá pra fazer rapidinho se você lembrar de substituir!

Resposta

y = x - \dfrac{1}{2}x^{2}
x=0,\;x=2

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