Determine
e
sabendo que:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e pergunta duas coisas claras:
- Determinar
, a transformada de Laplace de . - Determinar
, a solução no domínio do tempo.
Informações fornecidas:
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, lembro as definições e fórmulas que usarei (explicando por que elas valem):
Definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é uma variável complexa com parte real grande o suficiente para a integral convergir.
Transformada da derivada: se
e
é de ordem exponencial suficiente, então
Explicação rápida (integração por partes):
, supondo que
quando
.
Transformadas úteis:
A segunda vem da propriedade
: para
temos
e
.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Usando as fórmulas do passo anterior:
Como
, isso simplifica para
Agora resolvo algebricamente para
:
Passo 4
Agora encontro
fazendo a transformada inversa de Laplace. Já sabemos da lista de transformadas que
Logo, multiplicando por
,
Portanto a transformada inversa é
Passo 5
Faço uma checagem rápida substituindo a solução na equação para confirmar (é um bom hábito na prova). Calculo
:
Somando
obtemos
, que é exatamente o lado direito da equação, e
é satisfeito. Tudo coerente.