Determine Y(s) e y(t) sabendo que:
y^{\prime}(t)+y(t)=2 e^{-t}, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e pergunta duas coisas claras:
  • Determinar Y(s), a transformada de Laplace de y(t).
  • Determinar y(t), a solução no domínio do tempo.
Informações fornecidas:
y'(t)+y(t)=2 e^{-t},\qquad y(0)=0.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, lembro as definições e fórmulas que usarei (explicando por que elas valem):
Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa com parte real grande o suficiente para a integral convergir.
Transformada da derivada: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y é de ordem exponencial suficiente, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
Explicação rápida (integração por partes): \mathcal{L}\{y'\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y'(t)\,dt=[e^{-st}y(t)]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt=-y(0)+sY(s), supondo que e^{-st}y(t)\to0 quando t\to\infty.
Transformadas úteis:
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a},
\mathcal{L}\{t e^{-at}\}=\frac{1}{(s+a)^2}.
A segunda vem da propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}F(s): para f(t)=e^{-at} temos F(s)=1/(s+a) e -\frac{d}{ds}\frac{1}{s+a}=\frac{1}{(s+a)^2}.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
\mathcal{L}\{y'(t)\}+\mathcal{L}\{y(t)\}=2\,\mathcal{L}\{e^{-t}\}.
Usando as fórmulas do passo anterior:
(sY(s)-y(0))+Y(s)=2\cdot\frac{1}{s+1}.
Como y(0)=0, isso simplifica para
(s+1)Y(s)=\frac{2}{s+1}.
Agora resolvo algebricamente para Y(s):
Y(s)=\frac{2}{(s+1)^2}.

Passo 4

Agora encontro y(t) fazendo a transformada inversa de Laplace. Já sabemos da lista de transformadas que
\mathcal{L}\{t e^{-t}\}=\frac{1}{(s+1)^2}.
Logo, multiplicando por 2,
\mathcal{L}\{2t e^{-t}\}=\frac{2}{(s+1)^2}=Y(s).
Portanto a transformada inversa é
y(t)=2t e^{-t}.

Passo 5

Faço uma checagem rápida substituindo a solução na equação para confirmar (é um bom hábito na prova). Calculo y'(t):
y(t)=2t e^{-t}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=2 e^{-t}-2t e^{-t}=2e^{-t}-y(t).
Somando y'(t)+y(t) obtemos 2e^{-t}, que é exatamente o lado direito da equação, e y(0)=0 é satisfeito. Tudo coerente.

Resposta

Y(s)=\dfrac{2}{(s+1)^2}
y(t)=2t e^{-t}

Exercícios relacionados