Se a velocidade
é sempre perpendicular ao vetor posição
, mostre pelo produto escalar que
é constante. O ponto fica no círculo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Informação: a velocidade é o vetor
. - Informação: esse vetor velocidade é sempre perpendicular ao vetor posição
. - Pedido: mostrar, usando produto escalar, que
é constante ao longo do tempo. Em consequência, concluir que o ponto descreve um movimento sobre um círculo (ou seja, fica a uma distância fixa da origem).
Passo 2
Lembrete sobre produto escalar e perpendicularidade (aula curta e direta): dado dois vetores no plano
e
, o produto escalar é
Dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se e somente se o produto escalar entre eles for zero:
Aqui vou usar essa definição diretamente.
Passo 3
Aplicando o produto escalar aos vetores posição e velocidade dados: tomamos
Pelo item anterior, perpendicularidade implica
Calculando o produto escalar explícito (usando a fórmula
) obtemos
Passo 4
Agora precisamos relacionar isso com a derivada de
. Use a regra da cadeia/derivação para funções de
: se
e
, então
A derivada de
em relação a
é dada por multiplicar por
e por
(regra da cadeia):
Portanto
Passo 5
Substituímos a relação obtida no Passo 3,
, na expressão da derivada:
Isto significa que a função
tem derivada nula para todo
. Uma função cuja derivada é zero em todo o domínio é constante. Então existe uma constante
tal que
Passo 6
Interprete geometricamente: a equação
é a equação de um círculo centrado na origem com raio
(supondo
). Portanto o ponto
permanece à distância fixa
da origem para todo
— isto é, o ponto fica no círculo de raio
.