Se a velocidade d x / d t \mathbf{i}+d y / d t \mathbf{j} é sempre perpendicular ao vetor posição x \mathbf{i}+y \mathbf{j}, mostre pelo produto escalar que x^{2}+y^{2} é constante. O ponto fica no círculo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação: a velocidade é o vetor \dfrac{dx}{dt}\mathbf{i}+\dfrac{dy}{dt}\mathbf{j}.
  • Informação: esse vetor velocidade é sempre perpendicular ao vetor posição x\mathbf{i}+y\mathbf{j}.
  • Pedido: mostrar, usando produto escalar, que x^{2}+y^{2} é constante ao longo do tempo. Em consequência, concluir que o ponto descreve um movimento sobre um círculo (ou seja, fica a uma distância fixa da origem).

Passo 2

Lembrete sobre produto escalar e perpendicularidade (aula curta e direta): dado dois vetores no plano \mathbf{u}=u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j} e \mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}, o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y.
Dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se e somente se o produto escalar entre eles for zero:
\mathbf{u}\perp\mathbf{v}\quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.
Aqui vou usar essa definição diretamente.

Passo 3

Aplicando o produto escalar aos vetores posição e velocidade dados: tomamos
\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}, \qquad \mathbf{v}=\frac{dx}{dt}\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\mathbf{j}.
Pelo item anterior, perpendicularidade implica
\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}=0.
Calculando o produto escalar explícito (usando a fórmula u_x v_x + u_y v_y) obtemos
\bigl(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{dx}{dt}\mathbf{i}+\tfrac{dy}{dt}\mathbf{j}\bigr) = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0.

Passo 4

Agora precisamos relacionar isso com a derivada de x^{2}+y^{2}. Use a regra da cadeia/derivação para funções de t: se x=x(t) e y=y(t), então
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) = \frac{d}{dt}\bigl(x^{2}\bigr) + \frac{d}{dt}\bigl(y^{2}\bigr).
A derivada de x^{2} em relação a t é dada por multiplicar por 2x e por \dfrac{dx}{dt} (regra da cadeia):
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}\bigr)=2x\frac{dx}{dt}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\frac{dy}{dt}.
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2\Bigl(x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}\Bigr).

Passo 5

Substituímos a relação obtida no Passo 3, x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0, na expressão da derivada:
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2\cdot 0 = 0.
Isto significa que a função t\mapsto x^{2}(t)+y^{2}(t) tem derivada nula para todo t. Uma função cuja derivada é zero em todo o domínio é constante. Então existe uma constante C tal que
x^{2}(t)+y^{2}(t)=C\qquad\text{para todo }t.

Passo 6

Interprete geometricamente: a equação
x^{2}+y^{2}=C
é a equação de um círculo centrado na origem com raio R=\sqrt{C} (supondo C\ge 0). Portanto o ponto (x(t),y(t)) permanece à distância fixa \sqrt{C} da origem para todo t — isto é, o ponto fica no círculo de raio \sqrt{C}.

Resposta

x^{2}+y^{2}=C para todo t (constante C); logo o ponto descreve um círculo de raio R=\sqrt{C} centrado na origem.

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