Uma elipse tem seu centro em C(4,-2). Seu eixo maior é vertical e mede 12 unidades, e a distância do centro a um dos focos é de 4 unidades. Escreva a equação reduzida dessa elipse.

Passo 1

O enunciado descreve uma elipse com centro em C(4,-2), eixo maior vertical de comprimento 12 e distância do centro a um foco igual a 4. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, em particular elipses, e vamos usar a forma reduzida da elipse centrada em (h,k):
\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1
quando o eixo maior é vertical, com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b.

Passo 2

O comprimento do eixo maior é 12, logo o semi-eixo maior é
a = \frac{12}{2} = 6.

Passo 3

A distância do centro a um dos focos é c=4. Para elipses vale
c^2 = a^2 - b^2.
Substituindo a=6 e c=4,
16 = 36 - b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 36 - 16 = 20.

Passo 4

Como o eixo maior é vertical, a forma reduzida é
\frac{(x-4)^2}{b^2} + \frac{(y+2)^2}{a^2} = 1.
Substituindo b^2=20 e a^2=36, obtemos
\frac{(x-4)^2}{20} \;+\;\frac{(y+2)^2}{36} \;=\;1.

Resposta

\frac{(x-4)^2}{20} + \frac{(y+2)^2}{36} = 1.

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