Uma elipse tem seus focos nos pontos F1=(1,2) e F2=(5,2), e o comprimento do eixo maior é 6 .
a) Encontre a equação da elipse na forma padrão.
b) Verifique se o ponto P=(3,4) pertence à elipse.

Passo 1

O enunciado fala de uma elipse cujos focos são F1=(1,2) e F2=(5,2) e cujo eixo maior tem comprimento 6. O conteúdo é a equação padrão da elipse e a verificação de um ponto. Vamos usar que, para uma elipse com centro (h,k), semi-eixo maior a e semi-eixo menor b, a equação é
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1
e que a distância focal satisfaz c^2=a^2-b^2, onde 2c é a distância entre os focos.

Passo 2

Primeiro encontramos o centro como o ponto médio de F1 e F2:
(h,k)=l(tfrac1+52,,tfrac2+22r)=(3,2)
A distância entre os focos é 2c=d(F1,F2)=4, logo c=2. Como o eixo maior tem comprimento 2a=6, temos a=3. Então
b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5

Passo 3

Substituindo em (x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1 com (h,k)=(3,2), a^2=9 e b^2=5, obtemos
(x-3)^29 + (y-2)^25 = 1

Passo 4

Para ver se P=(3,4) pertence, plugamos na equação:
(3-3)^29 + (4-2)^25 = 0 + 45 = 45 neq 1
Portanto P não satisfaz a equação e não pertence à elipse.

Resposta

(a) (x-3)^29 + (y-2)^25 = 1
(b) Não, P=(3,4) não pertence à elipse.

Exercícios relacionados