Exercício 1

Sabendo que E=(e1, e2, e3) é base e que
f1=2 e1-e2 f2=e1-e2+2 e3 f3=e1+2 e3
  • Mostre que F=(f1, f2, f3) é base;
  • Calcule as coordenadas de v=(1,1,1)E na base F.

Passo 1

O enunciado dá a base canônica E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) de um espaço vetorial de dimensão 3 e define três vetores em coordenadas de E:
overrightarrow f1 = 2overrightarrow e1 - overrightarrow e2, overrightarrow f2 = overrightarrow e1 - overrightarrow e2 + 2overrightarrow e3, overrightarrow f3 = overrightarrow e1 + 2overrightarrow e3
Precisamos (i) mostrar que F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) forma uma base, e (ii) achar as coordenadas de vec v=(1,1,1)E na base F.

Passo 2

Para testar se F é base, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3 em relação a E:
M = 2 & 1 & 1 -1 & -1 & 0 0 & 2 & 2
Sabemos que em dimensão 3 um conjunto de 3 vetores é base se, e só se, o determinante da matriz de coordenadas for não nulo.

Passo 3

Calculamos det M por expansão de Laplace na primeira linha:
det M = 2-1 & 02 & 2 -1-1 & 00 & 2 +1-1 & -10 & 2 =2l((-1)cdot2 - 0r) -1l((-1)cdot2 - 0r) +1l((-1)cdot2 -(-1)cdot0r) =-4+2-2=-4neq0
Como det Mneq0, os vetores overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3 são linearmente independentes e, portanto, F é uma base.

Passo 4

Para escrever vec v=(1,1,1)E na base F, buscamos escalares x,y,z tais que
vec v = x,overrightarrow f1 + y,overrightarrow f2 + z,overrightarrow f3
Em coordenadas de E, isso vira
x,(2,-1,0) + y,(1,-1,2) + z,(1,0,2) = (1,1,1),
que gera o sistema
2x + y + z = 1, -,x - y = 1, -0cdot x +2y +2z = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema: da segunda equação vem
;x+y=-1 implies x=-1-y.
Da terceira equação vem
;2y+2z=1 implies y+z=tfrac12 implies z=tfrac12 -y.
Substituindo em 2x+y+z=1:
2(-1-y)+y+(tfrac12-y)=1 Longrightarrow -2-2y+y+tfrac12-y=1 Longrightarrow -2y+tfrac12-2=1 Longrightarrow -2y=tfrac52 Longrightarrow y=-tfrac54
Logo x=-1-(-tfrac54)=tfrac14 e z=tfrac12-(-tfrac54)=tfrac74.

Resposta

F é base pois det M=-4neq0.
As coordenadas de vec v na base F são
boxed;(vec v)F = l(tfrac14,,-tfrac54,;tfrac74r);

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