O enunciado dá a base canônica E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) de um espaço vetorial de dimensão 3 e define três vetores em coordenadas de E:
Precisamos (i) mostrar que F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) forma uma base, e (ii) achar as coordenadas de vec v=(1,1,1)E na base F.
Passo 2
Para testar se F é base, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3 em relação a E:
M = 2 & 1 & 1 -1 & -1 & 0 0 & 2 & 2
Sabemos que em dimensão 3 um conjunto de 3 vetores é base se, e só se, o determinante da matriz de coordenadas for não nulo.
Passo 3
Calculamos det M por expansão de Laplace na primeira linha:
Como det Mneq0, os vetores overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3 são linearmente independentes e, portanto, F é uma base.
Passo 4
Para escrever vec v=(1,1,1)E na base F, buscamos escalares x,y,z tais que
vec v = x,overrightarrow f1 + y,overrightarrow f2 + z,overrightarrow f3
Em coordenadas de E, isso vira
x,(2,-1,0) + y,(1,-1,2) + z,(1,0,2) = (1,1,1),
que gera o sistema
2x + y + z = 1, -,x - y = 1, -0cdot x +2y +2z = 1
Passo 5
Resolvendo o sistema: da segunda equação vem ;x+y=-1impliesx=-1-y.
Da terceira equação vem ;2y+2z=1impliesy+z=tfrac12impliesz=tfrac12 -y.
Substituindo em 2x+y+z=1: