Para as elipses dadas, encontre vértices, focos e excentricidade:
4 x^{2}+9 y^{2}-16 x+18 y=11

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os vértices, os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação
4x^{2}+9y^{2}-16x+18y=11.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
4x^{2}+9y^{2}-16x+18y=11.
Não há outras condições extras; a tarefa é transformar essa equação na forma padrão de uma elipse e a partir daí obter centro, semi-eixos, vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

Vamos reescrever a equação agrupando termos em x e em y para completar quadrados. Agrupando:
4x^{2}-16x \quad\text{e}\quad 9y^{2}+18y,
então escrevemos
4(x^{2}-4x)+9(y^{2}+2y)=11.

Passo 3

Agora completamos os quadrados dentro de cada parêntese. Lembra: x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4 porque (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4. E y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1 porque (y+1)^{2}=y^{2}+2y+1. Substituindo:
4\big((x-2)^{2}-4\big) + 9\big((y+1)^{2}-1\big)=11.
Expandindo os termos constantes:
4(x-2)^{2}-16 + 9(y+1)^{2}-9 =11.
Somando as constantes no lado esquerdo: -16-9=-25. Então
4(x-2)^{2}+9(y+1)^{2}-25=11.
Isolando as formas quadráticas:
4(x-2)^{2}+9(y+1)^{2}=11+25=36.

Passo 4

Dividimos ambos os lados por 36 para obter a forma padrão de uma elipse:
\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1.
Compare com a forma padrão
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde (h,k) é o centro, a^{2} e b^{2} são os quadrados dos semi-eixos. Aqui temos:
(h,k)=(2,-1),\qquad a^{2}=9,\qquad b^{2}=4.
Explicação didática: quando a fração com (x-h)^{2} tem denominador maior que a de (y-k)^{2}, isto indica que o semi-eixo maior (comprimento a) está ao longo do eixo x. Portanto a=\sqrt{9}=3 e b=\sqrt{4}=2.

Passo 5

Vértices: os vértices principais (extremos do eixo maior, que é horizontal aqui) ficam em (h\pm a,\,k). Logo:
\text{vértices do eixo maior: }(2-3,-1)=(-1,-1)\quad\text{e}\quad(2+3,-1)=(5,-1).é
Os extremos do eixo menor (também chamados às vezes de vértices menores) ficam em (h,\,k\pm b). Logo:
\text{vértices do eixo menor: }(2,-1-2)=(2,-3)\quad\text{e}\quad(2,-1+2)=(2,1).é
Observação: alguns enunciados pedem apenas os dois vértices do eixo maior; aqui forneci os quatro pontos para não restar dúvida.

Passo 6

Cálculo dos focos. Para elipse com eixo maior horizontal usamos a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
onde c é a distância do centro a cada foco. Substituindo:
c^{2}=9-4=5 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em (h\pm c,\,k). Assim:
\text{focos: }(2-\sqrt{5},-1)\quad\text{e}\quad(2+\sqrt{5},-1).

Passo 7

Cálculo da excentricidade. A excentricidade de uma elipse é definida por
e=\frac{c}{a}.
Substituindo c=\sqrt{5} e a=3:
e=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{5}\approx 2,236 então e\approx 0,745 (mas a forma exata \frac{\sqrt{5}}{3} é a resposta correta).

Resposta

vértices do eixo maior: (-1,-1) e (5,-1)
vértices do eixo menor: (2,-3) e (2,1)
focos: (2-\sqrt{5},-1) e (2+\sqrt{5},-1)
excentricidade: \dfrac{\sqrt{5}}{3}

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