Para as elipses dadas, encontre vértices, focos e excentricidade:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os vértices, os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não há outras condições extras; a tarefa é transformar essa equação na forma padrão de uma elipse e a partir daí obter centro, semi-eixos, vértices, focos e excentricidade.
Passo 2
Vamos reescrever a equação agrupando termos em
e em
para completar quadrados. Agrupando:
então escrevemos
Passo 3
Agora completamos os quadrados dentro de cada parêntese. Lembra:
porque
. E
porque
. Substituindo:
Expandindo os termos constantes:
Somando as constantes no lado esquerdo:
. Então
Isolando as formas quadráticas:
Passo 4
Dividimos ambos os lados por
para obter a forma padrão de uma elipse:
Compare com a forma padrão
onde
é o centro,
e
são os quadrados dos semi-eixos. Aqui temos:
Explicação didática: quando a fração com
tem denominador maior que a de
, isto indica que o semi-eixo maior (comprimento
) está ao longo do eixo
. Portanto
e
.
Passo 5
Vértices: os vértices principais (extremos do eixo maior, que é horizontal aqui) ficam em
. Logo:
Os extremos do eixo menor (também chamados às vezes de vértices menores) ficam em
. Logo:
Observação: alguns enunciados pedem apenas os dois vértices do eixo maior; aqui forneci os quatro pontos para não restar dúvida.
Passo 6
Cálculo dos focos. Para elipse com eixo maior horizontal usamos a relação
onde
é a distância do centro a cada foco. Substituindo:
Como o eixo maior é horizontal, os focos ficam em
. Assim:
Passo 7
Cálculo da excentricidade. A excentricidade de uma elipse é definida por
Substituindo
e
:
Se quiser uma aproximação numérica,
então
(mas a forma exata
é a resposta correta).
Resposta
vértices do eixo maior:
e
vértices do eixo menor: e
focos: e
excentricidade:
vértices do eixo menor:
focos:
excentricidade: