Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada. A única informação fornecida é a equação
Lista das perguntas que preciso responder:
Passo 2
Identificar a forma canônica e os parâmetros básicos da hipérbole (sem resolver ainda, só extrair dados da equação).
A equação está na forma padrão
A equação está na forma padrão
comparando com a dada vemos que
Então
Observação (útil para a prova): quando a parte positiva é o termo com
, a hipérbole tem eixo transverso vertical (os vértices e focos estão sobre o eixo
), e o centro está em
porque não há termos lineares nem translação na equação.
Passo 3
Encontrar os vértices.
Definição prática: para a hipérbole com centro em
e eixo transverso vertical, os vértices ficam em
Definição prática: para a hipérbole
Já sabemos que
. Portanto os vértices são
Explicação rápida do porquê: os vértices são os pontos mais próximos do centro sobre o eixo transverso; substituindo
na equação obtém-se
.
Passo 4
Encontrar os focos.
Fórmula importante: para hipérboles a distância focal satisfaz
Fórmula importante: para hipérboles a distância focal satisfaz
onde
é a distância do centro a cada foco. Esta fórmula difere da elipse (na elipse usa-se
); memorize qual usar em cada caso (hipérbole soma, elipse subtrai). Aqui:
logo
Como o eixo transverso é vertical, os focos estão em
. Portanto os focos são
Passo 5
Encontrar as assíntotas — ideia e derivação.
Intuição/razão: para valores grandes de o termo constante
na equação fica desprezível frente aos termos quadráticos, então a hipérbole se aproxima das retas que anulam a parte quadrática. Mais formalmente, partimos da forma
Intuição/razão: para valores grandes de
Para
grandes podemos aproximar por
ou seja
Tomando a raiz (duas direções,
e
) obtemos as assíntotas
Essa é a forma para hipérboles centradas na origem; se o centro fosse
as assíntotas seriam
.
Passo 6
Aplicar a fórmula das assíntotas com os valores numéricos que já temos:
e
. Assim
Logo as assíntotas são as retas
Se quiser justificar em prova com uma pequena manipulação algébrica: escreva
tome
e, quando , a raiz tende a
, ficando
.
e, quando
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: