Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada. A única informação fornecida é a equação
\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Lista das perguntas que preciso responder:
\text{(i) vértices,}\qquad \text{(ii) focos,}\qquad \text{(iii) assíntotas.}éí

Passo 2

Identificar a forma canônica e os parâmetros básicos da hipérbole (sem resolver ainda, só extrair dados da equação).
A equação está na forma padrão
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
comparando com a dada vemos que
a^{2}=25,\qquad b^{2}=4.
Então
a=\sqrt{25}=5,\qquad b=\sqrt{4}=2.
Observação (útil para a prova): quando a parte positiva é o termo com y^{2}, a hipérbole tem eixo transverso vertical (os vértices e focos estão sobre o eixo y), e o centro está em (0,0) porque não há termos lineares nem translação na equação.

Passo 3

Encontrar os vértices.
Definição prática: para a hipérbole \displaystyle\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 com centro em (0,0) e eixo transverso vertical, os vértices ficam em
(0,\pm a).
Já sabemos que a=5. Portanto os vértices são
(0,5)\quad\text{e}\quad(0,-5).
Explicação rápida do porquê: os vértices são os pontos mais próximos do centro sobre o eixo transverso; substituindo x=0 na equação obtém-se y=\pm a.

Passo 4

Encontrar os focos.
Fórmula importante: para hipérboles a distância focal satisfaz
c^{2}=a^{2}+b^{2},
onde c é a distância do centro a cada foco. Esta fórmula difere da elipse (na elipse usa-se c^{2}=a^{2}-b^{2}); memorize qual usar em cada caso (hipérbole soma, elipse subtrai). Aqui:
c^{2}=25+4=29,
logo
c=\sqrt{29}.
Como o eixo transverso é vertical, os focos estão em (0,\pm c). Portanto os focos são
\bigl(0,\sqrt{29}\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(0,-\sqrt{29}\bigr).

Passo 5

Encontrar as assíntotas — ideia e derivação.
Intuição/razão: para valores grandes de x,y o termo constante 1 na equação fica desprezível frente aos termos quadráticos, então a hipérbole se aproxima das retas que anulam a parte quadrática. Mais formalmente, partimos da forma
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.
Para x,y grandes podemos aproximar por
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}\approx 0,
ou seja
\frac{y^{2}}{a^{2}}=\frac{x^{2}}{b^{2}}.
Tomando a raiz (duas direções, + e -) obtemos as assíntotas
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Essa é a forma para hipérboles centradas na origem; se o centro fosse (h,k) as assíntotas seriam y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h).

Passo 6

Aplicar a fórmula das assíntotas com os valores numéricos que já temos: a=5 e b=2. Assim
\frac{a}{b}=\frac{5}{2}.
Logo as assíntotas são as retas
y=\frac{5}{2}x\quad\text{e}\quad y=-\frac{5}{2}x.
Se quiser justificar em prova com uma pequena manipulação algébrica: escreva
y^{2}=a^{2}\Bigl(1+\frac{x^{2}}{b^{2}}\Bigr)=\frac{a^{2}}{b^{2}}x^{2}+a^{2},
tome y=\pm\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}x^{2}+a^{2}}=\pm\frac{a}{b}|x|\sqrt{1+\frac{b^{2}}{x^{2}}}
e, quando |x|\to\infty, a raiz tende a 1, ficando y\sim\pm\frac{a}{b}x.

Resposta

Vértices: (0,5) e (0,-5)
Focos: \bigl(0,\sqrt{29}\bigr) e \bigl(0,-\sqrt{29}\bigr)
Assíntotas: y=\dfrac{5}{2}x e y=-\dfrac{5}{2}x

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