- Um elipsoide é gerado pela rotação da elipse
em torno do eixo
. Determine uma equação do elipsoide.
Passo 1
O enunciado dá uma elipse no plano
e diz que ela é girada em torno do eixo
. O que foi dado e o que se pede:
- Dado: a elipse no plano definida por
. - Operação: a elipse é rotacionada em torno do eixo
. - Pedido: encontrar a equação do sólido de revolução (o elipsoide) gerado por essa rotação.
Passo 2
Entendendo o que significa rotacionar em torno do eixo
.
Quando uma curva do plano é girada em torno do eixo
, a coordenada
de cada ponto permanece a mesma, e a coordenada
vira a distância radial ao eixo
no plano
. Em coordenadas cartesianas 3D, a distância do ponto
ao eixo
é
. Isso quer dizer que, ao rotacionar a curva
em torno do eixo
, o termo
que aparecia na equação do plano passa a ser
na equação do sólido em 3D.
Quando uma curva do plano
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso: a elipse original satisfaz
. Ao rotacionar em torno do eixo
substituímos
por
. Assim a equação do sólido é
Passo 4
Colocando a equação em forma padrão de elipsoide (dividindo ambos os lados por
):
Aqui fica claro que o elipsoide tem semi-eixo ao longo de
igual a
(porque
) e semi-eixos iguais ao longo de
e
iguais a
.
Passo 5
Verificações rápidas e interpretação geométrica (úteis para a prova):
- Se
recupera-se a elipse original: . - Em geral, a rotação de uma curva
em torno do eixo dá , que normalmente se implementa substituindo por . Exemplo simples: a circunferência rotacionada em torno do eixo gera a esfera .