1. Um elipsoide é gerado pela rotação da elipse 4 x^{2}+y^{2}=16 em torno do eixo x. Determine uma equação do elipsoide.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse no plano xy e diz que ela é girada em torno do eixo x. O que foi dado e o que se pede:
  • Dado: a elipse no plano definida por \;4x^{2}+y^{2}=16\;.
  • Operação: a elipse é rotacionada em torno do eixo x.
  • Pedido: encontrar a equação do sólido de revolução (o elipsoide) gerado por essa rotação.

Passo 2

Entendendo o que significa rotacionar em torno do eixo x.
Quando uma curva do plano xy é girada em torno do eixo x, a coordenada x de cada ponto permanece a mesma, e a coordenada y vira a distância radial ao eixo x no plano yz. Em coordenadas cartesianas 3D, a distância do ponto (x,y,z) ao eixo x é \sqrt{y^{2}+z^{2}}. Isso quer dizer que, ao rotacionar a curva y em torno do eixo x, o termo y^{2} que aparecia na equação do plano passa a ser y^{2}+z^{2} na equação do sólido em 3D.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: a elipse original satisfaz \;4x^{2}+y^{2}=16\;. Ao rotacionar em torno do eixo x substituímos y^{2} por y^{2}+z^{2}. Assim a equação do sólido é
4x^{2} + \bigl(y^{2}+z^{2}\bigr) = 16.

Passo 4

Colocando a equação em forma padrão de elipsoide (dividindo ambos os lados por 16):
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}+z^{2}}{16} = 1.
Aqui fica claro que o elipsoide tem semi-eixo ao longo de x igual a 2 (porque 4=2^{2}) e semi-eixos iguais ao longo de y e z iguais a 4.

Passo 5

Verificações rápidas e interpretação geométrica (úteis para a prova):
  • Se z=0 recupera-se a elipse original: \;4x^{2}+y^{2}=16\;.
  • Em geral, a rotação de uma curva F(x,y)=0 em torno do eixo x F\bigl(x,\sqrt{y^{2}+z^{2}}\bigr)=0, que normalmente se implementa substituindo y^{2} por y^{2}+z^{2}. Exemplo simples: a circunferência \;x^{2}+y^{2}=R^{2}\; rotacionada em torno do eixo x gera a esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\;.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}+z^{2}}{16} = 1

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