Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
x=z

Passo 1

O enunciado pede: identificar e esboçar a superfície dada pela equação x=z.
Informações fornecidas: a equação relaciona as coordenadas cartesianas (x,y,z) do espaço tridimensional através de x=z. Não há outros dados.

Passo 2

Interpretar a equação como uma equação linear em x,y,z. Escrevendo-a como
x-z=0
vemos que é uma equação do tipo a x + b y + c z = d com a=1, b=0, c=-1 e d=0. Qual é a consequência? Toda equação linear não trivial em x,y,z descreve um plano no espaço. Portanto, x=z é um plano que passa pela origem (porque d=0).

Passo 3

Encontrar o vetor normal ao plano e entender sua orientação. Para uma equação a x + b y + c z = d o vetor normal é (a,b,c). Aqui
\mathbf{n}=(1,0,-1).
Esse vetor é perpendicular a todo o plano. O fato de a componente associada a y ser zero ( b=0) indica que o plano é paralelo ao eixo y (variações em y não afetam a equação).

Passo 4

Obter uma forma paramétrica simples do plano — isso ajuda a desenhar. Tome dois parâmetros livres, por exemplo s e t. Pode escolher s=x e t=y; então z=s. Assim a parametrização é
(x,y,z)=(s,t,s)=s(1,0,1)+t(0,1,0),
com s,t\in\mathbb{R}. Explicação: o plano é gerado pela combinação linear do vetor (1,0,1) (direção diagonal no plano xz) e do vetor (0,1,0) (direção do eixo y).

Passo 5

Achar interseções com planos coordenados e alguns pontos para guiar o esboço.
  • Interseção com o plano y=0 (plano xz): substituindo y=0 obtemos x=z, ou seja, a reta diagonal no plano xz que faz 45^\circ entre x e z. Exemplos de pontos nessa reta: (1,0,1), (2,0,2), (-1,0,-1).
  • Interseção com o plano z=0 (plano xy): substituindo z=0 na equação dá x=0, ou seja, a reta (0,y,0) — a própria reta do eixo y. Logo o plano contém todo o eixo y.
  • Interseção com o plano x=0 (plano yz): substituindo x=0 z=0, novamente a reta (0,y,0).
Portanto o plano contém a reta do eixo y e a reta diagonal x=z no plano xz; esses dois geradores são ortogonais (produto escalar (1,0,1)\cdot(0,1,0)=0).

Passo 6

Como esboçar passo a passo (truque prático para a prova):
  1. Desenhe os três eixos: eixo x apontando para a direita, eixo z apontando para dentro/diagonal (ou para cima à direita dependendo da convenção de desenho) e eixo y vertical. Marque a origem O=(0,0,0).
  2. No plano y=0 (plano do chão do desenho), desenhe a reta x=z: é a bissetriz entre os eixos x e z naquele plano (45°). Marque pontos como (1,0,1) e (-1,0,-1).
  3. A partir de cada ponto da reta x=z “levante” linhas paralelas ao eixo y (ou seja, desenhe segmentos verticais passando por esses pontos). O conjunto dessas linhas verticais forma o plano inteiro.
  4. Trace uma superfície fina (um retângulo inclinado) passando pela reta diagonal no chão e contendo o eixo y. Esse retângulo é a representação do plano x=z.
Observação geométrica final: o plano está inclinado em relação aos eixos x e z (faz 45^\circ com cada um deles na projeção no plano y=0) e é paralelo ao eixo y.

Resposta

A superfície é um plano que passa pela origem, dada por x=z. Vetor normal \mathbf{n}=(1,0,-1). Forma paramétrica (x,y,z)=(s,t,s), s,t\in\mathbb{R}. Geometricamente é o plano paralelo ao eixo y que contém a reta diagonal x=z no plano y=0.

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