Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
Passo 1
O enunciado pede: identificar e esboçar a superfície dada pela equação
.
Informações fornecidas: a equação relaciona as coordenadas cartesianas do espaço tridimensional através de
. Não há outros dados.
Informações fornecidas: a equação relaciona as coordenadas cartesianas
Passo 2
Interpretar a equação como uma equação linear em
. Escrevendo-a como
vemos que é uma equação do tipo
com
,
,
e
. Qual é a consequência? Toda equação linear não trivial em
descreve um plano no espaço. Portanto,
é um plano que passa pela origem (porque
).
Passo 3
Encontrar o vetor normal ao plano e entender sua orientação. Para uma equação
o vetor normal é
. Aqui
Esse vetor é perpendicular a todo o plano. O fato de a componente associada a
ser zero (
) indica que o plano é paralelo ao eixo
(variações em
não afetam a equação).
Passo 4
Obter uma forma paramétrica simples do plano — isso ajuda a desenhar. Tome dois parâmetros livres, por exemplo
e
. Pode escolher
e
; então
. Assim a parametrização é
com
. Explicação: o plano é gerado pela combinação linear do vetor
(direção diagonal no plano
) e do vetor
(direção do eixo
).
Passo 5
Achar interseções com planos coordenados e alguns pontos para guiar o esboço.
- Interseção com o plano
(plano ): substituindo obtemos , ou seja, a reta diagonal no plano que faz entre e . Exemplos de pontos nessa reta: , , . - Interseção com o plano
(plano ): substituindo na equação dá , ou seja, a reta — a própria reta do eixo . Logo o plano contém todo o eixo . - Interseção com o plano
(plano ): substituindo dá , novamente a reta .
Portanto o plano contém a reta do eixo
e a reta diagonal
no plano
; esses dois geradores são ortogonais (produto escalar
).
Passo 6
Como esboçar passo a passo (truque prático para a prova):
- Desenhe os três eixos: eixo
apontando para a direita, eixo apontando para dentro/diagonal (ou para cima à direita dependendo da convenção de desenho) e eixo vertical. Marque a origem . - No plano
(plano do chão do desenho), desenhe a reta : é a bissetriz entre os eixos e naquele plano (45°). Marque pontos como e . - A partir de cada ponto da reta
“levante” linhas paralelas ao eixo (ou seja, desenhe segmentos verticais passando por esses pontos). O conjunto dessas linhas verticais forma o plano inteiro. - Trace uma superfície fina (um retângulo inclinado) passando pela reta diagonal no chão e contendo o eixo
. Esse retângulo é a representação do plano .
Observação geométrica final: o plano está inclinado em relação aos eixos
e
(faz
com cada um deles na projeção no plano
) e é paralelo ao eixo
.
Resposta
A superfície é um plano que passa pela origem, dada por
. Vetor normal
. Forma paramétrica
,
. Geometricamente é o plano paralelo ao eixo
que contém a reta diagonal
no plano
.