- Uma superfície é constituída de todos os pontos
tais que a distância de
ao plano
é o dobro da distância de
ao ponto
. Determine a equação dessa superfície e identifique-a.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informações dadas:
- O ponto do espaço é
(variáveis desconhecidas). - O plano é dado por
. - O ponto fixo é
. - A condição: a distância de
ao plano é o dobro da distância de ao ponto .
- O ponto do espaço é
- O que o problema pede:
- Determinar a equação da superfície formada por todos os pontos
que satisfazem essa condição. - Identificar que tipo de superfície é (por exemplo: esfera, elipsoide, paraboloide, etc.).
- Determinar a equação da superfície formada por todos os pontos
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas das distâncias que aparecem na condição, para um ponto genérico
.
-
Distância de
ao plano .
A distância de um pontoao plano é a componente do deslocamento na direção normal ao plano. Como o plano tem norma unitária na direção , a distância é (Explicação curta: para o planoa fórmula seria . Aqui só há termo , logo denominador é .) -
Distância de
ao ponto .
Usa-se a fórmula da distância euclidiana em:
Passo 3
Agora aplicamos a condição do enunciado: a distância ao plano é o dobro da distância ao ponto. Em fórmulas:
Passo 4
Ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Ao elevar ao quadrado obtemos:
Agora expandimos os quadrados do lado esquerdo e do parêntese do lado direito.
O lado esquerdo:
.
O lado direito:
Passo 5
Colocamos tudo de um lado para obter uma equação quadrática padrão:
Subtraindo o lado esquerdo dos dois lados, obtemos
Simplificando os termos semelhantes:
Ou escrevendo na forma mais direta:
Passo 6
Para identificar o tipo de superfície, vamos completar o quadrado no termo em
. Separe os termos:
Fatorando
nos termos que envolvem
:
Complete o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo:
Calcule o termo constante vindo do completo do quadrado:
Então a equação fica
Como
, obtemos
Passo 7
Isolando o termo constante no lado direito:
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Simplificando cada fração:
Portanto a equação em forma canônica é
Passo 8
Interpretação geométrica:
- Todos os denominadores são positivos, então esta é a equação de um elipsoide.
- Centro do elipsoide:
(vem do termo ). - Semi-eixos (comprimentos positivos):
- Ao longo de
: . - Ao longo de
: . - Ao longo de
: .
- Ao longo de
Também vale notar que a condição original com valor absoluto é satisfeita pelos pontos desta equação, pois ambos os lados na igualdade original eram não negativos antes do quadrado.
Resposta
Elipsoide de centro
e semi-eixos
(nas direções
, respectivamente).