1. Uma superfície é constituída de todos os pontos P tais que a distância de P ao plano y=1 é o dobro da distância de P ao ponto (0,-1,0). Determine a equação dessa superfície e identifique-a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações dadas:
    • O ponto do espaço é P=(x,y,z) (variáveis desconhecidas).
    • O plano é dado por y=1.
    • O ponto fixo é (0,-1,0).
    • A condição: a distância de P ao plano y=1 é o dobro da distância de P ao ponto (0,-1,0).
  • O que o problema pede:
    1. Determinar a equação da superfície formada por todos os pontos P que satisfazem essa condição.
    2. Identificar que tipo de superfície é (por exemplo: esfera, elipsoide, paraboloide, etc.).

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas das distâncias que aparecem na condição, para um ponto genérico P=(x,y,z).
  • Distância de P ao plano y=1.
    A distância de um ponto (x,y,z) ao plano y=1 é a componente do deslocamento na direção normal ao plano. Como o plano tem norma unitária na direção y, a distância é
    \text{dist}_{\text{plano}} = |y-1|.
    (Explicação curta: para o plano ay+bz+cy+d=0 a fórmula seria |ax+by+cz+d|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}. Aqui só há termo y-1=0, logo denominador é 1.)
  • Distância de P ao ponto (0,-1,0).
    Usa-se a fórmula da distância euclidiana em \mathbb{R}^3:
    \text{dist}_{\text{ponto}}=\sqrt{(x-0)^2+(y-(-1))^2+(z-0)^2}=\sqrt{x^2+(y+1)^2+z^2}.

Passo 3

Agora aplicamos a condição do enunciado: a distância ao plano é o dobro da distância ao ponto. Em fórmulas:
|y-1| = 2\sqrt{x^2+(y+1)^2+z^2}.

Passo 4

Ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Ao elevar ao quadrado obtemos:
(y-1)^2 = 4\bigl(x^2+(y+1)^2+z^2\bigr).
Agora expandimos os quadrados do lado esquerdo e do parêntese do lado direito.
O lado esquerdo: (y-1)^2 = y^2 - 2y + 1.
O lado direito:
4\bigl(x^2+(y+1)^2+z^2\bigr)=4x^2+4(y^2+2y+1)+4z^2=4x^2+4y^2+8y+4+4z^2.

Passo 5

Colocamos tudo de um lado para obter uma equação quadrática padrão:
y^2-2y+1 = 4x^2+4y^2+8y+4+4z^2.
Subtraindo o lado esquerdo dos dois lados, obtemos
0 = 4x^2 + (4y^2 - y^2) + (8y + 2y) + 4z^2 + (4 - 1).
Simplificando os termos semelhantes:
0 = 4x^2 + 3y^2 + 10y + 4z^2 + 3.
Ou escrevendo na forma mais direta:
4x^2 + 3y^2 + 4z^2 + 10y + 3 = 0.

Passo 6

Para identificar o tipo de superfície, vamos completar o quadrado no termo em y. Separe os termos:
4x^2 + 4z^2 + 3y^2 + 10y + 3 = 0.
Fatorando 3 nos termos que envolvem y:
4x^2 + 4z^2 + 3\bigl(y^2 + \tfrac{10}{3}y\bigr) + 3 = 0.
Complete o quadrado dentro do parêntese:
y^2 + \tfrac{10}{3}y = \left(y + \tfrac{5}{3}\right)^2 - \left(\tfrac{5}{3}\right)^2.
Substituindo:
4x^2 + 4z^2 + 3\left[\left(y + \tfrac{5}{3}\right)^2 - \left(\tfrac{5}{3}\right)^2\right] + 3 = 0.
Calcule o termo constante vindo do completo do quadrado:
3\left(\tfrac{5}{3}\right)^2 = 3\cdot\tfrac{25}{9} = \tfrac{75}{9} = \tfrac{25}{3}.
Então a equação fica
4x^2 + 4z^2 + 3\left(y + \tfrac{5}{3}\right)^2 - \tfrac{25}{3} + 3 = 0.
Como -\tfrac{25}{3}+3 = -\tfrac{25}{3}+\tfrac{9}{3} = -\tfrac{16}{3}, obtemos
4x^2 + 4z^2 + 3\left(y + \tfrac{5}{3}\right)^2 - \tfrac{16}{3} = 0.

Passo 7

Isolando o termo constante no lado direito:
4x^2 + 4z^2 + 3\left(y + \tfrac{5}{3}\right)^2 = \tfrac{16}{3}.
Dividindo ambos os lados por \tfrac{16}{3} para obter a forma padrão:
\frac{4x^2}{\tfrac{16}{3}} + \frac{4z^2}{\tfrac{16}{3}} + \frac{3\left(y + \tfrac{5}{3}\right)^2}{\tfrac{16}{3}} = 1.
Simplificando cada fração:
\frac{x^2}{\tfrac{4}{3}} + \frac{z^2}{\tfrac{4}{3}} + \frac{\left(y + \tfrac{5}{3}\right)^2}{\tfrac{16}{9}} = 1.
Portanto a equação em forma canônica é
\frac{x^2}{4/3} + \frac{z^2}{4/3} + \frac{\left(y + \tfrac{5}{3}\right)^2}{16/9} = 1.

Passo 8

Interpretação geométrica:
  • Todos os denominadores são positivos, então esta é a equação de um elipsoide.
  • Centro do elipsoide: \bigl(0,-\tfrac{5}{3},0\bigr) (vem do termo y+\tfrac{5}{3}).
  • Semi-eixos (comprimentos positivos):
    • Ao longo de x: \sqrt{\tfrac{4}{3}} = \tfrac{2}{\sqrt{3}}.
    • Ao longo de z: \sqrt{\tfrac{4}{3}} = \tfrac{2}{\sqrt{3}}.
    • Ao longo de y: \sqrt{\tfrac{16}{9}} = \tfrac{4}{3}.
Também vale notar que a condição original com valor absoluto é satisfeita pelos pontos desta equação, pois ambos os lados na igualdade original eram não negativos antes do quadrado.

Resposta

4x^2 + 3y^2 + 4z^2 + 10y + 3 = 0
Elipsoide de centro \bigl(0,-\tfrac{5}{3},0\bigr) e semi-eixos \tfrac{2}{\sqrt{3}},\\ \tfrac{4}{3},\\ \tfrac{2}{\sqrt{3}} (nas direções x,y,z, respectivamente).

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