Determine a distância entre os planos 3 x+y-4 z=2 \mathrm{e} 3 x+y-4 z=24.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distância entre os planos 3x+y-4z=2 e 3x+y-4z=24.
Informações dadas:
Primeiro plano: 3x+y-4z=2.
Segundo plano: 3x+y-4z=24.
Observação direta das equações: os dois planos têm os mesmos coeficientes para x, y e z (ou seja, o mesmo vetor normal).
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem complicar): para medir a distância entre dois planos paralelos, basta calcular a distância perpendicular (ao longo do vetor normal) de um ponto qualquer de um plano até o outro plano. Para isso existem duas formas equivalentes que usarei aqui:
escolher um ponto simples que pertença a um dos planos e aplicar a fórmula da distância ponto-plano; ou
usar diretamente que, se os planos estão escritos como ax+by+cz=k_1 e ax+by+cz=k_2, a distância entre eles é \dfrac{|k_2-k_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Vou mostrar a forma 1 com derivação da fórmula (para você entender e poder reproduzir na prova) e depois aplicar aos números do enunciado.
Passo 3
Derivação didática da fórmula distância ponto-plano.
Seja um plano qualquer escrito na forma ax+by+cz+d=0. O vetor normal a esse plano é \mathbf{n}=(a,b,c).
Seja P_0=(x_0,y_0,z_0) um ponto qualquer (fora ou dentro do plano). Queremos a distância perpendicular do ponto P_0 até o plano.
Tome um ponto R=(x_R,y_R,z_R) qualquer do plano, ou seja, satisfaz ax_R+by_R+cz_R+d=0.
O vetor que liga R a P_0 é \overrightarrow{RP_0}=P_0-R. A componente desse vetor na direção normal \mathbf{n} (ou seja, a projeção de \overrightarrow{RP_0} sobre \mathbf{n}) tem comprimento
Dica rápida: como as equações estavam na forma 3x+y-4z=2 e 3x+y-4z=24, poderia-se também usar diretamente a forma 2 citada: \dfrac{|24-2|}{\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}}=\dfrac{22}{\sqrt{26}}, chegando ao mesmo resultado.