1. Determine a distância entre os planos 3 x+y-4 z=2 \mathrm{e} 3 x+y-4 z=24.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância entre os planos 3x+y-4z=2 e 3x+y-4z=24.
Informações dadas:
  • Primeiro plano: 3x+y-4z=2.
  • Segundo plano: 3x+y-4z=24.
  • Observação direta das equações: os dois planos têm os mesmos coeficientes para x, y e z (ou seja, o mesmo vetor normal).

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem complicar): para medir a distância entre dois planos paralelos, basta calcular a distância perpendicular (ao longo do vetor normal) de um ponto qualquer de um plano até o outro plano. Para isso existem duas formas equivalentes que usarei aqui:
  1. escolher um ponto simples que pertença a um dos planos e aplicar a fórmula da distância ponto-plano; ou
  2. usar diretamente que, se os planos estão escritos como ax+by+cz=k_1 e ax+by+cz=k_2, a distância entre eles é \dfrac{|k_2-k_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Vou mostrar a forma 1 com derivação da fórmula (para você entender e poder reproduzir na prova) e depois aplicar aos números do enunciado.

Passo 3

Derivação didática da fórmula distância ponto-plano.
  • Seja um plano qualquer escrito na forma ax+by+cz+d=0. O vetor normal a esse plano é \mathbf{n}=(a,b,c).
  • Seja P_0=(x_0,y_0,z_0) um ponto qualquer (fora ou dentro do plano). Queremos a distância perpendicular do ponto P_0 até o plano.
  • Tome um ponto R=(x_R,y_R,z_R) qualquer do plano, ou seja, satisfaz ax_R+by_R+cz_R+d=0.
  • O vetor que liga R a P_0 é \overrightarrow{RP_0}=P_0-R. A componente desse vetor na direção normal \mathbf{n} (ou seja, a projeção de \overrightarrow{RP_0} sobre \mathbf{n}) tem comprimento
\frac{|\overrightarrow{RP_0}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{n}\|}.
  • Calculando o produto escalar:
\overrightarrow{RP_0}\cdot\mathbf{n}=a(x_0-x_R)+b(y_0-y_R)+c(z_0-z_R).
Reagrupando e usando que ax_R+by_R+cz_R=-d (pois R está no plano), obtemos
\overrightarrow{RP_0}\cdot\mathbf{n}=ax_0+by_0+cz_0+d.
  • Portanto a distância do ponto P_0 ao plano é
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Essa é a fórmula ponto-plano que usaremos.

Passo 4

Aplicação ao problema.
  • Primeiro, escrevemos o segundo plano na forma ax+by+cz+d=0. A equação 3x+y-4z=24 fica
3x+y-4z-24=0,
logo para esse plano a=3, b=1, c=-4 e d=-24.
  • Agora escolhemos um ponto fácil que pertença ao primeiro plano 3x+y-4z=2. Tomando x=0 e z=0 obtemos y=2, então um ponto do primeiro plano é
P=(0,2,0).
(Esse ponto foi obtido resolvendo a equação do plano com escolhas simples; peguei x=0, z=0 e calculei y a partir da equação do plano.)
  • Aplicando a fórmula distância ponto-plano para a distância de P até o segundo plano:
\text{dist}=\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Substituindo a=3, b=1, c=-4, d=-24 e P=(x_0,y_0,z_0)=(0,2,0), temos
\text{dist}=\frac{|3\cdot 0 + 1\cdot 2 + (-4)\cdot 0 + (-24)|}{\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}}=\frac{|2-24|}{\sqrt{9+1+16}}=\frac{22}{\sqrt{26}}.

Passo 5

Simplificação final (racionalizando o denominador, se preferir):
\frac{22}{\sqrt{26}}=\frac{22\sqrt{26}}{26}=\frac{11\sqrt{26}}{13}.
Dica rápida: como as equações estavam na forma 3x+y-4z=2 e 3x+y-4z=24, poderia-se também usar diretamente a forma 2 citada: \dfrac{|24-2|}{\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}}=\dfrac{22}{\sqrt{26}}, chegando ao mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{11\sqrt{26}}{13}

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