O elipsoide 4 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=16 intercepta o plano y=2 em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa elipse no ponto (0,2, \sqrt{8}).
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
Dados fornecidos:
O elipsoide definido por 4x^{2}+2y^{2}+z^{2}=16.
O plano y=2.
O ponto da interseção onde queremos a reta tangente: (0,2,\sqrt{8}).
O que o problema pede:
Determinar as equações paramétricas da reta tangente à elipse que é a interseção do elipsoide com o plano \,y=2, avaliadas no ponto (0,2,\sqrt{8}).
Passo 2
Entender a curva de interseção e escrever sua equação explícita no plano [,y=2).
A curva é dada pelas duas equações simultâneas:\begin{cases} 4x^{2}+2y^{2}+z^{2}=16,\\[4pt] y=2. \end{cases}
Substituindo y=2\] na equação do elipsoide obtemos a equação da elipse no plano:
\[4x^{2}+2(2)^{2}+z^{2}=16.\]
- Calculando \(2(2)^{2}=8, então4x^{2}+8+z^{2}=16 \quad\Rightarrow\quad 4x^{2}+z^{2}=8.
Podemos também escrever essa elipse na forma padrão:\frac{x^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{8}=1,que mostra semieixos \,a=\sqrt{2} (direção x) e \,b=2\sqrt{2} (direção z) no plano y=2.]
Passo 3
Escolher o método para achar a reta tangente e justificar a escolha.
Métodos possíveis:
Usar normas e produto vetorial: a reta tangente à interseção de duas superfícies é a interseção das tangentes das duas superfícies; sua direção pode ser obtida pelo produto vetorial dos vetores normais das superfícies.
Parametrizar a elipse em y=2 e derivar a parametrização para obter a direção da tangente no parâmetro correspondente.
Vou usar o método do produto vetorial porque é direto e curto aqui (temos a equação implícita do elipsoide e a equação do plano). Em seguida, faço uma verificação rápida pela parametrização para fixar a intuição.
Explicando a ideia usada: para uma superfície descrita por \,F(x,y,z)=0, o vetor \nabla F é normal à superfície em cada ponto. Para duas superfícies F=0 e G=0, os vetores normais \nabla F e \nabla G em um ponto são normais aos respectivos planos tangentes; a direção da curva de interseção é ortogonal a ambos os normais, logo proporcional a \nabla F\times\nabla G.
Passo 4
Calcular o vetor normal à superfície elipsoide e o vetor normal ao plano, ambos no ponto dado.
Para o elipsoide F(x,y,z)=4x^{2}+2y^{2}+z^{2}-16 temos o gradiente (vetor normal) dado por
Podemos simplificar \sqrt{8}=2\sqrt{2}, então 2\sqrt{8}=4\sqrt{2}. Assim
\nabla F(0,2,\sqrt{8})=(0,8,4\sqrt{2}).
O plano é G(x,y,z)=y-2=0. O vetor normal ao plano é
\nabla G=(0,1,0),
pois \partial G/\partial x=0,\;\partial G/\partial y=1,\;\partial G/\partial z=0.
Passo 5
Determinar a direção da reta tangente como o produto vetorial \nabla F\times\nabla G e simplificar.
Calcular o produto vetorial\nabla F(0,2,\sqrt{8})\times\nabla G = (0,8,4\sqrt{2})\times(0,1,0).
Fazer o cálculo componente a componente (usando a regra do determinante):\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 0 & 8 & 4\sqrt{2} \\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\,(8\cdot 0 - 4\sqrt{2}\cdot 1) -\mathbf{j}\,(0\cdot 0 - 4\sqrt{2}\cdot 0) +\mathbf{k}\,(0\cdot 1 - 8\cdot 0).
Isso dá\nabla F\times\nabla G =(-4\sqrt{2},\;0,\;0).
Qualquer múltiplo não nulo desse vetor serve como direção da reta tangente. Para simplificar, escolhemos o vetor unitário paralelo (1,0,0) (ou simplesmente (1,0,0) como direção).
Interpretação rápida: a direção é ao longo do eixo x — ou seja, no ponto dado a reta tangente mantém y e z constantes enquanto x varia.]
Passo 6
Construir as equações paramétricas da reta tangente usando ponto e vetor direção.
Uma reta que passa por (x_{0},y_{0},z_{0}) com vetor direção (v_{x},v_{y},v_{z}) tem parametrização(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t(v_{x},v_{y},v_{z}),\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui (x_{0},y_{0},z_{0})=(0,2,\sqrt{8}) e podemos tomar (v_{x},v_{y},v_{z})=(1,0,0). Assim a reta é(x,y,z)=(0,2,\sqrt{8})+t(1,0,0).
Em coordenadas paramétricas separadas:\begin{cases} x=t,\\[4pt] y=2,\\[4pt] z=\sqrt{8}, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.]
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, para fixar a intuição) — parametrização da elipse e derivada:
A elipse em y=2\) era \(\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{z^{2}}{8}=1\). Podemos parametrizá-la por
\[\begin{cases} x=\sqrt{2}\cos\theta,\\[4pt] z=2\sqrt{2}\sin\theta,\\[4pt] y=2. \end{cases}
O ponto (0,2,\sqrt{8})\] corresponde a \(\theta=\tfrac{\pi}{2} (pois \cos\tfrac{\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{\pi}{2}=1 dá z=2\sqrt{2}= \sqrt{8}).
Derivando em função de \theta:\left(\frac{dx}{d\theta},\frac{dy}{d\theta},\frac{dz}{d\theta}\right)=\big(-\sqrt{2}\sin\theta,\;0,\;2\sqrt{2}\cos\theta\big).
Avaliando em \theta=\tfrac{\pi}{2}:(-\sqrt{2}\cdot 1,\;0,\;2\sqrt{2}\cdot 0)=(-\sqrt{2},0,0),que é paralelo a (1,0,0). Confirma-se a direção obtida antes.]