Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por S= 0,0072 w^{0,425} h^{0,725}, onde w é o peso (em quilogramas) e h é a altura (em centímetros) e S é a medida em metros quadrados. Se os erros nas medidas de w e h forem no máximo de 2 \%, use diferenciais para estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula da área da superfície:
S = 0,0072\, w^{0,425} h^{0,725},
onde w é o peso (kg), h é a altura (cm) e S em m². Diz que os erros nas medidas de w e h são, no máximo, 2\%. A tarefa: usar diferenciais para estimar a porcentagem de erro máxima em S.\n
Informações relevantes:
A expressão de S em função de w e h (peguei isto do enunciado).
Erros máximos relativos em w e h: \left|\dfrac{dw}{w}\right|\le 0,02 e \left|\dfrac{dh}{h}\right|\le 0,02.
Pedido: estimativa, por diferenciais, da porcentagem máxima de erro em S.
Passo 2
Ideia do método (o que são diferenciais e por que funcionam aqui). Quando as variações em w e h são pequenas, a variação de S pode ser aproximada pela diferencial total:
A grande vantagem é que isso nos dá uma relação linear entre a variação relativa de S e as variações relativas de w e h, permitindo estimar a porcentagem de erro em S. Em problemas com potências do tipo S=k w^{a}h^{b} essa relação fica especialmente simples: a variação relativa \dfrac{dS}{S} é uma combinação linear das variações relativas de w e h.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e obter a fórmula para a variação relativa. Começo lembrando a função:
S(w,h)=0,0072\,w^{0,425}h^{0,725}.
As derivadas parciais são (uso regra de potência):
Explicação didática: \dfrac{dS}{S} é a mudança fracionária de S; multiplicando por 100\% dá a porcentagem de erro aproximada.
Passo 4
Usar os limites de erro dados para encontrar o erro máximo. Sabemos que os erros relativos em w e h têm magnitude no máximo 0,02 (isto é, 2\%). Para obter a estimativa da porcentagem máxima de erro em S usamos o caso em que os sinais das variações contribuem no mesmo sentido (isso dá o pior caso em módulo). Assim tomamos:
Converter a variação relativa em porcentagem e interpretar o resultado. A variação relativa 0,023 corresponde a
0,023 \times 100\% = 2,3\%.
Interpretação amigável: usando diferenciais (linearização), se as medidas de w e h tiverem até 2\% de erro, a estimativa do erro percentual máximo na área da superfície S é aproximadamente 2,3\%. Isso é uma estimativa linear válida quando os erros são pequenos (a aproximação por diferenciais é razoável).