Em
considere o subconjunto
formado pelas sequências unitárias canônicas. Mostre que não existe a melhor aproximação de
no conjunto em
. Qual o motivo?
10. (a) Mostre que
é um subespaço fechado de
e determine
.
(b) Seja
, determine
.
10. (a) Mostre que
(b) Seja
Passo 1
O primeiro problema pede para mostrar que, em
, não existe melhor aproximação de
pelo conjunto
onde
é a sequência unitária canônica com
na posição
e
nas demais.
O conteúdo envolvido é cálculo de distâncias na norma e noções de mínimo versus ínfimo.
O conteúdo envolvido é cálculo de distâncias na norma
Passo 2
Para cada
, calculemos
Mas
então
Podemos agrupar
Passo 3
Como
,
, segue
Porém, para todo
temos
, logo nenhum
atinge esse valor mínimo.
Passo 4
Concluímos que
existe finito, mas não é alcançado por nenhum
. Em outras palavras, não há melhor aproximação porque
é infinito e não compacto (gera um ínfimo estritamente decrescente sem mínimo).
Passo 5
Agora a parte 10:
(a) .
(b) .
Queremos mostrar que cada é subespaço fechado (quando corresponde) e determinar
.
(a)
(b)
Queremos mostrar que cada
Passo 6
(a) É claro que
é um subespaço linear. Defina o operador linear
que é contínuo. Então
é fechado. Para achar
, note que
deve satisfazer
para todo
com
. Isso força
pois
é arbitrário. Logo
isto é, sequências suportadas apenas nas posições pares.
Passo 7
(b) Quando
, é imediatamente um subespaço de dimensão finita e, portanto, fechado. Um vetor
está em
se e somente se
isto é,
Assim
Resposta
Não existe melhor aproximação de
em
porque
é estritamente menor que todos os
, mas não é atingido por nenhum
(falta de compacidade de
).
10(a)
é subespaço fechado e
10(b) Se
então