Em ell2 considere o subconjunto A formado pelas sequências unitárias canônicas. Mostre que não existe a melhor aproximação de h=(-1 / n) in ell2 no conjunto em A. Qual o motivo?
10. (a) Mostre que Y=x in l2 mid x=(xi), x2 i=0, i in N é um subespaço fechado de l2 e determine Y^perp.
(b) Seja Y=[e1, ldots, en] subset l2, determine Y^perp.

Passo 1

O primeiro problema pede para mostrar que, em ell2, não existe melhor aproximação de
h = l(-1/nr)n=1^infty
pelo conjunto
A = enn=1^infty,
onde en é a sequência unitária canônica com 1 na posição n e 0 nas demais.
O conteúdo envolvido é cálculo de distâncias na norma ell2 e noções de mínimo versus ínfimo.

Passo 2

Para cada kinN, calculemos
|,h - ek|^2 = sumn=1^inftyl(hn - (ek)nr)^2 = sumnneq k1n^2 + l(-tfrac1k -1r)^2
Mas
sumn=1^infty1n^2 = pi^26,
então
|,h - ek|^2 = pi^26 + l(1 + tfrac1kr)^2 = pi^26 + 1 + 2k + 1k^2
Podemos agrupar
|,h - ek|^2 = l(pi^26 +1r) + 2k + 1k^2

Passo 3

Como ktoinfty, tfrac2k+tfrac1k^2to0, segue
infkinN|,h - ek|^2 = pi^26 +1
Porém, para todo k temos tfrac2k+tfrac1k^2>0, logo nenhum k atinge esse valor mínimo.

Passo 4

Concluímos que
infain A|,h - a|
existe finito, mas não é alcançado por nenhum ek. Em outras palavras, não há melhor aproximação porque A é infinito e não compacto (gera um ínfimo estritamente decrescente sem mínimo).

Passo 5

Agora a parte 10:
(a) Y=xinell2mid x2i=0 forall i.
(b) Y=[e1,dots,en]subsetell2.
Queremos mostrar que cada Y é subespaço fechado (quando corresponde) e determinar Y^perp.

Passo 6

(a) É claro que Y é um subespaço linear. Defina o operador linear
Pcolon ell2to ell2, P(x1,x2,x3,x4,dots) =(x2,x4,x6,dots),
que é contínuo. Então
Y = ker P
é fechado. Para achar Y^perp, note que zin Y^perp deve satisfazer
lang<= z,yrang<==0 para todo y com y2i=0. Isso força
z2i-1=0forall i,
pois y2i-1 é arbitrário. Logo
Y^perp=,zinell2mid z2i-1=0 forall i,
isto é, sequências suportadas apenas nas posições pares.

Passo 7

(b) Quando Y=[e1,dots,en], é imediatamente um subespaço de dimensão finita e, portanto, fechado. Um vetor xinell2 está em Y^perp se e somente se
lang<= x,ekrang<==0(k=1,dots,n),
isto é,
xk=0(k=1,dots,n)
Assim
Y^perp = ,xinell2mid x1=cdots=xn=0

Resposta

Não existe melhor aproximação de h=(-1/n) em A=en porque
infain A|h-a|^2 =pi^26+1
é estritamente menor que todos os |h-ek|^2, mas não é atingido por nenhum k (falta de compacidade de A).
10(a) Y=xmid x2i=0 é subespaço fechado e
Y^perp=zmid z2i-1=0
10(b) Se Y=[e1,dots,en] então
Y^perp=xmid x1=dots=xn=0

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