Empregando-se um reator batelada, obteve-se para a reação irreversível \mathbf{A} \rightarrow Produtos os seguintes resultados experimentais com \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} :
t (segundos) 0 2,755 16,005 27,093
\mathrm{X}_{\mathrm{A}} 0 0,2 0,5 0,6
Sabendo-se que a reação ocorre em fase gasosa, a temperatura e pressão constantes, e que em 6,53 s \left(X_{A}=1 / 3\right) o volume reacional dobra, determine a ordem e a velocidade específica.

Passo 1

O enunciado trata de uma reação em batelada \mathrm{A}\to Produtos, com dados de tempo t versus conversão X_{A} e volume variável porque é fase gasosa em T,P constantes.
Precisamos determinar a ordem n e a constante de velocidade k sabendo que \mathrm{C}_{A0}=1\,\mathrm{mol/L} e que em t=6{,}53\,\mathrm{s}, X_{A}=1/3 faz V/V_{0}=2.

Passo 2

Fazendo o balanço de átomos em batelada com volume variável, define-se
X=\frac{N_{A0}-N_{A}}{N_{A0}}, \quad N_{A}=C_{A}V,
\frac{dX}{dt}=\frac{r_{A}\,V}{N_{A0}} =\frac{k\,C_{A}^{\,n}\,V}{C_{A0}V_{0}}.
Como
C_{A}=\frac{N_{A}}{V} =C_{A0}\,\frac{1-X}{1+\varepsilon X}, \quad V=V_{0}(1+\varepsilon X),
vem
\frac{dX}{dt} =k\,C_{A0}^{\,n-1}\, \frac{(1-X)^{n}}{(1+\varepsilon X)^{\,n-1}}.
Como C_{A0}=1, simplifica-se para
\frac{dX}{dt} =k\,\frac{(1-X)^{n}}{(1+\varepsilon X)^{\,n-1}}.

Passo 3

Determina-se \varepsilon pela variação de volume em X=1/3:
\frac{V}{V_{0}}=1+\varepsilon X=2 \;\Longrightarrow\; 1+\varepsilon\cdot\frac13=2 \;\Longrightarrow\;\varepsilon=3.

Passo 4

Para n =2 a equação diferencial é
\frac{dX}{dt} =k\,\frac{(1-X)^{2}}{(1+3X)^{1}} \;\Longrightarrow\; \int\frac{1+3X}{(1-X)^{2}}\,dX =\int k\,dt.
Fazendo frações parciais:
\frac{1+3X}{(1-X)^{2}} =\frac{-3}{1-X}+\frac{4}{(1-X)^{2}},
\int\frac{1+3X}{(1-X)^{2}}\,dX =3\ln(1-X)+\frac{4}{1-X}.
No instante inicial t=0,\;X=0 isso vale 4, logo a constante de integração é 4, e obtemos
3\ln(1-X)+\frac{4}{1-X} =kt+4 \;\Longrightarrow\; 3\ln(1-X)+\frac{4}{1-X}-4 =kt.

Passo 5

Para cada par (X,t) calcula-se
L(X)=3\ln(1-X)+\frac{4}{1-X}-4
e verifica-se que L(X)/t dá sempre
k\simeq0{,}120\;\mathrm{s^{-1}}.
Exemplo em X=1/3,\;t=6{,}53\,\mathrm{s}:
L\Bigl(\tfrac13\Bigr) =3\ln\Bigl(\tfrac23\Bigr)+\frac{4}{2/3}-4 \approx0{,}7834, \quad k=\frac{0{,}7834}{6{,}53}\approx0{,}120.

Resposta

Ordem 2 e constante de velocidade
k=0,120\;\mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}.

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