Questão 14. Considere o íon \mathrm{Ca}^{19+} com o seu elétron no 10^{\circ} estado excitado. (a) Calcule o menor comprimento de onda que poderia ser emitido quando o elétron do \mathrm{Ca}^{19+} sofre uma transição para um nível de energia mais baixo. (b) Suponha que a mesma transição descrita no item (a) ocorra em um átomo de hidrogênio. O comprimento de onda da radiação emitida seria maior, menor ou igual aquele observado no item (a)? Explique brevemente o porquê.

Passo 1

O enunciado pede, para o íon \mathrm{Ca}^{19+} (que é um átomo de cálcio com carga efetiva Z=20 e só um elétron), o menor comprimento de onda emitido na transição do 10^\circ estado excitado para um nível mais baixo. Esse ion é hidrogenoide, então vamos usar o modelo de Bohr para átomos com carga nuclear Z, cuja energia do nível n é
E_n = -\frac{Z^2\,13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.

Passo 2

Como o problema diz “ 10^\circ estado excitado”, e o estado fundamental é n=1, concluímos que o estado inicial é
n_i = 1 + 10 = 11.
A transição que dá o fóton de menor comprimento de onda (maior energia) vai de n_i=11 para o nível mais baixo possível, que é n_f=1.

Passo 3

Calculamos primeiro as energias envolvidas. Para Z=20:
E_{1} = -\frac{20^2 \times 13{,}6}{1^2}\\ \mathrm{eV} = -5440\\ \mathrm{eV},
E_{11} = -\frac{20^2 \times 13{,}6}{11^2}\\ \mathrm{eV} = -\frac{5440}{121}\\ \mathrm{eV}\approx -44{,}9587\\ \mathrm{eV}.
A energia do fóton emitido é
\Delta E = E_{1} - E_{11} = -5440 -\bigl(-\tfrac{5440}{121}\bigr)\\ \mathrm{eV} = 5440\Bigl(1 - \tfrac{1}{121}\Bigr)\\ \mathrm{eV} = \frac{5440 \times 120}{121}\\ \mathrm{eV} \approx 5399,\!2\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

O comprimento de onda vem de \lambda = \tfrac{hc}{\Delta E}. Usando hc \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm},
\lambda = \frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{5399{,}2\\ \mathrm{eV}} \approx 0{,}2297\\ \mathrm{nm} = 2{,}297\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Para o átomo de hidrogênio Z=1, a mesma transição n_i=11\to n_f=1 teria
\Delta E_{\rm H} = 13{,}6\Bigl(1 - \tfrac{1}{121}\Bigr)\\ \mathrm{eV} \approx 13{,}48\\ \mathrm{eV},
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\lambda_{\rm H} = \frac{1240}{13{,}48}\\ \mathrm{nm} \approx 92\\ \mathrm{nm},
muito maior que no caso do \mathrm{Ca}^{19+}. Isso acontece porque em Bohr \Delta E\propto Z^2: quanto maior o número atômico, maior a energia do fóton emitido e, portanto, menor o comprimento de onda.

Resposta

(a) \lambda_{\min}\approx2{,}30\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
(b) No hidrogênio o comprimento de onda seria maior do que em \mathrm{Ca}^{19+}, pois o átomo de cálcio com Z=20 gera uma energia de transição muito maior \Delta E\propto Z^2, resultando em \lambda menor.

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