A temperatura ambiente, a sacarose é hidrolisada pela ação catalítica da enzima sucrase:
sacarose \rightarrow produtos
No início da reação as concentrações de sacarose e enzima são respectivamente iguais a 1,0 milimol / \mathrm{L} e 0,01 \mathrm{milimol} / \mathrm{L} e os seguintes cinéticos foram obtidos em um reator batelada a volume constante:
t (hora) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
\mathrm{C}_{\text {sacarose }}
(milimol/L)
0,84 0,68 0,53 0,38 0,27 0,16 0,09 0,04 0,018 0,006 0,0025
Verificar se esses dados podem ser ajustados razoavelmente a uma equação cinética do tipo Michaelis-Menten.
a) Se for possível determine os parâmetros cinéticos \mathrm{K}_{\mathrm{m}} e \mathrm{V}_{\text {máx }}á.
b) Se a concentração da enzima for triplicada, qual será a concentração do substrato após 2 horas de reação?

Passo 1

O enunciado descreve a hidrólise da sacarose catalisada pela sucrase em batelada a volume constante, com dados de [\text{Sacarose}]=[S] em função do tempo t. Queremos verificar se cabe na cinética de Michaelis–Menten e, em caso positivo, achar os parâmetros K_m e V_{\max}. Como o reator é batelada e a enzima permanece praticamente constante ( [E]=0,01 mM), usamos a forma integrada da equação de Michaelis–Menten:
v = -\frac{d[S]}{dt} = \frac{V_{\max}[S]}{K_m+[S]}\,.

Passo 2

Integramos
-\int_{[S]_0}^{[S]}\frac{K_m+[S']}{[S']}\,d[S'] = \int_{0}^{t}V_{\max}\,dt'
que resulta na relação
t = \frac{[S]_0 - [S]}{V_{\max}} + \frac{K_m}{V_{\max}}\ln\!\biggl(\frac{[S]_0}{[S]}\biggr),
onde [S]_0=1{,}0 mM é a concentração inicial de sacarose.

Passo 3

Medimos dois regimes distintos:
  • Inicial (quase saturação): entre t=0 e t=1 h [S] cai de 1{,}0 para 0,84 mM, logo
V_0 \approx \frac{1{,}0 - 0,84}{1\,\text{h}} = 0,16\;\text{mM/h}.
  • Tardia ( [S]\ll K_m, aproximação de primeira ordem): tomamos razão média em t=7 9 h, p.ex. 0,018/0,04\approx0,45 por hora, o que sugere
k_{\mathrm{obs}} = \frac{V_{\max}}{K_m}\approx -\ln(0,45)\approx0,80\;\text{h}^{-1}.

Passo 4

Do regime inicial
V_0 = \frac{V_{\max}[S]_0}{K_m + [S]_0} \;\Longrightarrow\; 0,16 = \frac{V_{\max}\cdot1{,}0}{K_m+1{,}0},
e do regime tardio
\frac{V_{\max}}{K_m} \approx 0,80.
Da segunda equação V_{\max}=0,80\,K_m. Substituindo na primeira:
0,16 = \frac{0,80\,K_m}{K_m+1{,}0} \;\Longrightarrow\; 0,16(K_m+1{,}0)=0,80\,K_m \;\Longrightarrow\; K_m\approx0,24\;\text{mM},
e então
V_{\max}\approx0,80\times0,24=0,19\;\text{mM/h}.

Passo 5

Se triplicarmos a enzima, V_{\max} triplica para 0,57 mM/h (aprox.). Para t=2 h resolvemos
2 = \frac{1{,}0 - [S]}{0,57} + \frac{0,24}{0,57}\ln\!\biggl(\frac{1{,}0}{[S]}\biggr).
Iterando numericamente obtém-se [S]\approx0,20 mM.

Resposta

K_m\approx0,24\;\mathrm{mM} V_{\max}\approx0,19\;\mathrm{mM/h}
Com enzima triplicada, após 2 h [S]\approx0,20\;\mathrm{mM}.

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