Questão 7. As integrais abaixo são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência de
. O tema é integrais impróprias em intervalo infinito. Vou usar primeiro um teste de comparação para garantir a convergência e depois calcular o valor exato da integral.
Passo 2
Como
varia entre
e
, temos
Sabendo que
pelo teste da comparação a integral original também converge.
Passo 3
Para achar o valor exato, uso a identidade trigonométrica
Isso separa a integral em duas partes mais simples envolvendo
e
.
Passo 4
Substituindo,
A primeira integral vale
. A segunda, pela fórmula
com e
, vale
. Logo,
com
Resposta
A integral é convergente e