Questão 7. As integrais abaixo são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta
integral0^+infty e^-x sen^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de integral0^+inftye^-xsin^2(x),dx. O tema é integrais impróprias em intervalo infinito. Vou usar primeiro um teste de comparação para garantir a convergência e depois calcular o valor exato da integral.

Passo 2

Como sin^2(x) varia entre 0 e 1, temos
0 <= e^-x,sin^2(x) <= e^-x
Sabendo que
integral0^+inftye^-x,dx = 1,
pelo teste da comparação a integral original também converge.

Passo 3

Para achar o valor exato, uso a identidade trigonométrica
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Isso separa a integral em duas partes mais simples envolvendo e^-x e e^-xcos(2x).

Passo 4

Substituindo,
integral0^+inftye^-xsin^2(x),dx = 12integral0^+inftye^-x,dx - 12integral0^+inftye^-xcos(2x),dx
A primeira integral vale 1. A segunda, pela fórmula
integral0^+inftye^-axcos(bx),dx = aa^2+b^2
com a=1 e b=2, vale tfrac11+4 = tfrac15. Logo,
integral0^+inftye^-xsin^2(x),dx = 12cdot1 - 12cdottfrac15 = 12 - 110 = 25

Resposta

A integral é convergente e
integral0^+inftye^-xsin^2(x),dx = 25

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