Empregando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial:
y^prime prime+4 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
y'' + 4y = 0, y(0)=1, y'(0)=1
O conteúdo envolve usar propriedades da transformada de Laplace de derivadas e a tabela básica de transformadas inversas.

Passo 2

Denotando Y(s)=Ly(t), aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sabemos que
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
portanto a equação se transforma em
l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r)+4Y(s)=0
Em seguida substituímos as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1.

Passo 3

Após inserir y(0)=1 e y'(0)=1 obtemos
s^2Y(s)-scdot1-1+4Y(s)=0 Longrightarrow (s^2+4)Y(s)=s+1
Isolando Y(s), fica
Y(s)=s+1s^2+4

Passo 4

Para calcular a transformada inversa, separamos
Y(s)=ss^2+4+1s^2+4
Usando a tabela:
L^-1!lss^2+2^2r=cos(2t), L^-1!l2s^2+2^2r=sin(2t)
Como 1s^2+4=tfrac12cdot2s^2+2^2, temos
y(t)=cos(2t)+12sin(2t)

Resposta

y(t)=cos(2t)+12sin(2t)

Exercícios relacionados