Empregando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial:
y^prime prime-16 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=-12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 16,y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=-tfrac12 usando transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada em ambos os lados, usar as fórmulas para derivadas e depois inverter para encontrar y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace, chamando Y(s)=Ly(t), temos
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly=Y(s). Logo,
s^2Y(s)-scdot0-l(-tfrac12r);-,16,Y(s)=0
que simplifica para
s^2Y(s)+tfrac12-16Y(s)=0

Passo 3

Agrupando Y(s) em evidência:
Y(s),(s^2-16)=-tfrac12 Longrightarrow Y(s)=-tfrac12;1s^2-16

Passo 4

Fazendo frações parciais em -tfrac12/(s^2-16):
-tfrac121(s-4)(s+4) =As-4+Bs+4
Multiplicando por (s-4)(s+4) e usando s=4 e s=-4
A=-tfrac116, B=+tfrac116
Assim
Y(s)=-tfrac116,1s-4+tfrac116,1s+4

Passo 5

Invertendo a transformada com L^-11/(s-a)=e^at:
y(t) =-tfrac116e^4t+tfrac116e^-4t =tfrac116l(e^-4t-e^4tr)

Resposta

y(t)=116l(e^-4t-e^4tr).

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