Calcule os limites abaixo:
lim x 3 x^3-7 x^2+15 x-9x^3-6 x^2+9 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto3x^3-7x^2+15x-9x^3-6x^2+9x
Trata-se de um limite de função racional que, ao substituir x=3, dá a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e depois aplicar as propriedades de limite.

Passo 2

Verificando a substituição direta em cada polinômio:
numerador em x=3:;3^3-7cdot3^2+15cdot3-9 = 27-63+45-9 = 0,
denominador em x=3:;3^3-6cdot3^2+9cdot3 = 27-54+27 = 0
Temos, portanto, a forma indeterminada tfrac00, e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatorando o numerador x^3-7x^2+15x-9 por divisão sintética ou agrupamento, obtemos
x^3-7x^2+15x-9 = (x-3),(x^2-4x+3)=(x-3),(x-1),(x-3)=(x-3)^2(x-1)

Passo 4

Fatorando o denominador x^3-6x^2+9x:
x^3-6x^2+9x = x,(x^2-6x+9)=x,(x-3)^2

Passo 5

Para xneq3, podemos cancelar o fator comum (x-3)^2, obtendo
x^3-7x^2+15x-9x^3-6x^2+9x =(x-3)^2(x-1)x,(x-3)^2 =x-1x
Agora aplicamos o limite na forma simplificada:
limxto3x-1x = 3-13 = 23

Resposta

23

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