Empregando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial:
9 y^prime prime-6 y^prime+y=0, y(0)=3, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, o problema de valor inicial
9,y''(t)-6,y'(t)+y(t)=0, y(0)=3, y'(0)=1
Aqui o conteúdo é solução de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes usando transformadas de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'(t)=s,Y(s)-y(0), Ly''(t)=s^2,Y(s)-s,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplicamos L em cada termo da equação:
9l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r) -6l(sY(s)-y(0)r) +Y(s)=0

Passo 3

Substituímos as condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=1:
9l(s^2Y(s)-3s-1r) -6l(sY(s)-3r) +Y(s)=0
Distribuindo e somando termos semelhantes:
9s^2Y(s)-27s-9-6sY(s)+18+Y(s)=0 Longrightarrow l(9s^2-6s+1r)Y(s)-27s+9=0

Passo 4

Isolamos Y(s):
l(9s^2-6s+1r)Y(s)=27s-9 Longrightarrow Y(s)=27s-99s^2-6s+1 =3(9s-3)9l(s^2-tfrac23s+tfrac19r) =3s-1s^2-tfrac23s+tfrac19

Passo 5

Observamos que
s^2-tfrac23s+tfrac19=l(s-tfrac13r)^2,
então definindo u=s-tfrac13 temos
Y(s)=3l(u+tfrac13r)-1u^2 =3uu^2 =3u =3s-tfrac13

Passo 6

Tomamos a inversa de Laplace conhecendo
L^-1l1s-ar=e^a t
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y(t)=3,e^tfrac13t

Resposta

y(t)=3,e^tfract3

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