Empregando a transformada de Laplace, resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=10 sen 2 t para y(0)=-1 e y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''+2y'+2y=10sin2t
com condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=-3, empregando a transformada de Laplace.
Conteúdo: uso de Ly, propriedades de derivadas e transformada de sin.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Y(s)=Ly(t), temos
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)+s+3,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s)+1,
Ly=Y(s),
L10sin2t=10cdot2s^2+4=20s^2+4
Somando com os coeficientes da EDO, obtemos
(s^2Y+s+3)+2(sY+1)+2Y=20s^2+4

Passo 3

Agrupando termos em Y(s) e constantes,
(s^2+2s+2),Y(s)+(s+3+2)=20s^2+4,
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(s^2+2s+2),Y(s)=20s^2+4-(s+5),
Y(s)=20(s^2+4)(s^2+2s+2)-s+5s^2+2s+2
Note que s^2+2s+2=(s+1)^2+1.

Passo 4

Decompondo
20(s^2+4)l((s+1)^2+1r) =As+B(s+1)^2+1+Cs+Ds^2+4,
e igualando numeradores, achamos
A=2, B=6, C=-2, D=-2
Assim
Y(s)=-s+5(s+1)^2+1+2s+6(s+1)^2+1+-2s-2s^2+4 =s+1(s+1)^2+1-2s+1s^2+4

Passo 5

Reconhecendo transformadas inversas:
L^-1!ls+1(s+1)^2+1r=e^-tcos t, L^-1!lss^2+4r=cos2t, L^-1!l1s^2+4r=tfrac12sin2t,
obtemos
y(t)=e^-tcos t-2l(cos2t+tfrac12sin2tr) =e^-tcos t-2cos2t-sin2t

Resposta

boxedy(t)=e^-tcos t-2cos2t-sin2t

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