Empregando a transformada de Laplace, resolver os seguintes problemas de valor inicial:
para
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
com condições iniciais
e
, usando transformada de Laplace. Para isso vamos (a) tomar Laplace em ambos os lados, (b) usar as fórmulas
e
,
onde , e (c) inverter a transformada para obter
.
onde
Passo 2
Aplicando a transformada em
,
obtemos
obtemos
Reunindo termos semelhantes em
e constantes, fica
Passo 3
Isolando
,
Notamos que
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais de cada termo. Primeiro
Depois
Somando as duas partes em
, os termos
se cancelam e sobra
Passo 5
Invertemos termo a termo:
e
.
Logo a solução do IVP é
Logo a solução do IVP é