Empregando a transformada de Laplace, resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+4 y^prime+5 y=5 para y(0)=1 e y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y'' + 4y' + 5y = 5
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1, usando transformada de Laplace. Para isso vamos (a) tomar Laplace em ambos os lados, (b) usar as fórmulas
Ly' = sY(s) - y(0) e
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
onde Y(s)=Ly(t), e (c) inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada em
,y'' + 4y' + 5y = 5,
obtemos
l(s^2Y(s) - scdot1 - 1r) +4l(sY(s)-1r) +5,Y(s) =5s
Reunindo termos semelhantes em Y(s) e constantes, fica
(s^2 + 4s + 5),Y(s) - (s + 1 + 4) = 5s Longrightarrow (s^2 +4s+5),Y(s) = 5s + (s+5)

Passo 3

Isolando Y(s),
Y(s) = 5/s + (s+5)s^2+4s+5 = s+5s^2+4s+5 ;+;5s,(s^2+4s+5)
Notamos que
s^2+4s+5 = (s+2)^2 + 1

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais de cada termo. Primeiro
s+5(s+2)^2+1 = s+2(s+2)^2+1 + 3(s+2)^2+1
Depois
5sl((s+2)^2+1r) = 1s ;+;-s-4(s+2)^2+1 = 1s ;-;s+2(s+2)^2+1 ;-;2(s+2)^2+1
Somando as duas partes em Y(s), os termos s+2(s+2)^2+1 se cancelam e sobra
Y(s) = 1s ;+;3-2(s+2)^2+1 = 1s + 1(s+2)^2+1

Passo 5

Invertemos termo a termo:
L^-1!tfrac1s = 1 e
L^-1!tfrac1(s+2)^2+1 = e^-2tsin t.
Logo a solução do IVP é
y(t) = 1 + e^-2tsin t

Resposta

y(t) = 1 + e^-2tsin t

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