Questão 4 (2,0 pontos)
Faça o Mapa de Contorno (Curvas de Nível) da função:
f(x, y)=yx^2+y^2, k=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
f(x,y)=yx^2+y^2
para os valores de nível k=-1,0,1. Vamos usar o conceito de curva de nível, que é o conjunto dos pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Partindo da definição de curva de nível, impondo
yx^2+y^2=k
multiplicamos ambos os lados por x^2+y^2, obtendo a equação algébrica
y = k,(x^2+y^2)
e, reorganizando,
k,x^2 + k,y^2 - y = 0

Passo 3

Para kneq0 dividimos por k e completamos o quadrado em y:
x^2 + y^2 - yk = 0 Longrightarrow x^2 + l(y - 12kr)^2 = 14k^2
Isso mostra que, para cada kneq0, a curva de nível é uma circunferência de centro l(0,tfrac12kr) e raio tfrac12|k|.

Passo 4

No caso k=0, a equação f(x,y)=0 vira
yx^2+y^2=0 Longrightarrow y=0,
ou seja, a curva de nível é a reta y=0 (o eixo x), excluindo o ponto (0,0) onde f não está definida.

Resposta

Para k=1:
x^2 + l(y - tfrac12r)^2 = tfrac14
circunferência de centro (0,tfrac12) e raio tfrac12.
Para k=-1:
x^2 + l(y + tfrac12r)^2 = tfrac14
circunferência de centro (0,-tfrac12) e raio tfrac12.
Para k=0:
y=0
reta horizontal (eixo x), exceto o ponto (0,0).

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