Empregando a transformada de Laplace, resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=6 e^-t para y(0)=0 e y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, usando transformada de Laplace, a equação diferencial linear não–homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' + 2y = 6e^-t
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
Vamos precisar das propriedades da transformada de Laplace de derivadas e de frações parciais para inverter no domínio s.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados e usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s),
Le^-t=1s+1,
obtemos
(s^2Y(s)-1) + 2,(sY(s)) + 2,Y(s) ;=;6s+1
Reagrupando dá
(s^2+2s+2),Y(s) ;=;6s+1 + 1

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) = 6s+1 + 1s^2+2s+2 = 6 + (s+1)(s+1)l(s^2+2s+2r) = s+7(s+1)l((s+1)^2+1r)
Precisamos agora decompor em frações parciais para inverter.

Passo 4

Fazendo a decomposição
s+7(s+1)l((s+1)^2+1r) = As+1 + B(s+1)+C(s+1)^2+1,
obtém-se A=6, B=-6 e C=1. Logo
Y(s) = 6s+1 + -6(s+1)+1(s+1)^2+1
Invertendo termo a termo:
L^-1ltfrac6s+1r=6e^-t, L^-1ltfrac-6(s+1)(s+1)^2+1r=-6e^-tcos t, L^-1ltfrac1(s+1)^2+1r=e^-tsin t
Somando tudo, fica
y(t) = 6e^-t ;-;6e^-tcos t;+;e^-tsin t = e^-tl(6 -6cos t + sin tr)

Resposta

y(t) = e^-tl(6 - 6cos t + sin tr)

Exercícios relacionados