Verificar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta
sumn=1^infty 12(-23)^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty 12l(-23r)^n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é a análise de séries geométricas e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Reconhecemos que a série é geométrica com termo geral
an = 12l(-23r)^n,
isto é, de forma sum a r^n com a=tfrac12 (a partir de n=1) e r=-tfrac23.
Como lvert rrvert = tfrac23 <1, a série geométrica converge.
O valor da soma, embora não seja pedido, é
sumn=1^infty 12l(-tfrac23r)^n = 12;r1-r = 12;-tfrac231-(-tfrac23) = 12;-tfrac23tfrac53 = -15

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty llvert anrrvert = sumn=1^infty 12llvert -tfrac23rrvert^n = 12 sumn=1^infty l(tfrac23r)^n
Esta é outra série geométrica, agora com razão tfrac23<1, logo converge.
Portanto sum |an| é finita, e a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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