Empregando a transformada de Laplace, resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime-6 y^prime+9 y=4 e^t para y(0)=2 e y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a EDO com coeficientes constantes
y'' - 6y' + 9y = 4e^t
sujeita a y(0)=2 e y'(0)=3.
Vamos usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0) e
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
além de tabela de transformadas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados, com Y(s)=Ly(t), temos
l(s^2Y(s)-scdot2-3r);-;6l(sY(s)-2r);+;9Y(s) ;=;4s-1
Agora simplificamos o lado esquerdo:
s^2Y(s)-2s-3-6sY(s)+12+9Y(s) =;(s^2-6s+9)Y(s);+;(-2s+9) ;=;4s-1
Ou seja,
(s-3)^2,Y(s);-;(2s-9) ;=;4s-1

Passo 3

Isolando Y(s) obtém-se
(s-3)^2,Y(s) =4s-1+2s-9 =4+(2s-9)(s-1)s-1 =2s^2-11s+13s-1,
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Y(s) =2s^2-11s+13(s-1)(s-3)^2

Passo 4

Fazendo a decomposição
2s^2-11s+13(s-1)(s-3)^2 =As-1+Bs-3+C(s-3)^2,
temos o sistema
A+B=2, -6A-4B+C=-11, 9A+3B-C=13
Resolvendo, obtemos A=1, B=1, C=-1.
Então
Y(s)=1s-1+1s-3-1(s-3)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
L^-11/(s-1)=e^t,
L^-11/(s-3)=e^3t,
L^-11/(s-3)^2=t,e^3t.
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y(t)=e^t+e^3t-t,e^3t

Resposta

y(t)=e^t+e^3t-t,e^3t

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