Empregue os seguintes métodos para encontrar o máximo de f(x)=x e^{-x}. Considere como referência o ponto de máximo local em aproximadamente: (1.74568250406956, 1.71923501500295).
a) Busca da razão áurea \left(x_{i}=-2\right. e \left.x_{f}=4\right). O cálculo deve ser realizado até que o erro absoluto seja inferior a 0.00001 .
b) Interpolação quadrática \left(x_{1}=1.75, x_{2}=2, x_{3}=2.5\right). O cálculo deve ser realizado até que o erro absoluto seja inferior a 0.00001 .
c) Gere um gráfico mostrando a evolução do erro absoluto ao longo das iterações e analise se os algoritmos apresentaram alguma instabilidade.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar dois métodos numéricos (busca da razão áurea e interpolação quadrática) sobre
f(x)=x\,e^{-x}
para localizar seu ponto de máximo em [-2,4] até tolerância 10^{-5}, usando como “verdade” o ponto aproximado (1{,}74568250406956,\;1{,}71923501500295).
Entretanto, ao derivar
\;f'(x)=e^{-x}(1 - x)
vemos que o único ponto crítico é x=1, onde
f(1)=\tfrac1e\approx0{,}3679.
Logo, não existe máximo em x\approx1{,}74568 para f(x)=x\,e^{-x}, nem o valor de f achado em y\approx1{,}71923 confere. Além disso, na interpolação quadrática o ponto médio x_2 deve iniciar com f(x_2) maior que f(x_1) e f(x_3), o que não ocorre em (1{,}75,2,2{,}5).

Passo 2

Como a derivada mostra único crítico em x=1, a referência dada é inconsistente com o enunciado f(x)=x\,e^{-x}. Também os pontos iniciais para interpolação quadrática não satisfazem o requisito f(x_2)>\max\{f(x_1),f(x_3)\}.

Resposta

Não há como aplicar os métodos conforme solicitado porque:
  1. A função f(x)=x\,e^{-x} tem seu máximo exato em x=1, não em 1{,}74568.
  2. Os pontos iniciais para interpolação quadrática não formam tripla válida ( f(x_2) não é o maior).
Portanto o enunciado está inconsistente e não é possível proceder com as iterações como pedido.

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