Empregue os seguintes métodos para encontrar o máximo de
. Considere como referência o ponto de máximo local em aproximadamente: (1.14471424304867, -1.08817181702001).
a) Determine o valor de
que maximiza a função utilizando o método da busca da razão áurea
e
. O cálculo deve ser realizado até que o erro absoluto seja inferior a 0.0002 .
b) Calcule o valor de
que maximiza a função utilizando a interpolação quadrática adotando as aproximações iniciais
e
. O cálculo deve ser realizado até que o erro absoluto seja inferior a 0.01 .
c) Gere um gráfico mostrando a evolução do erro absoluto ao longo das iterações e analise se os algoritmos apresentaram alguma instabilidade.
a) Determine o valor de
b) Calcule o valor de
c) Gere um gráfico mostrando a evolução do erro absoluto ao longo das iterações e analise se os algoritmos apresentaram alguma instabilidade.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a função
no intervalo
conhecendo que existe um máximo local próximo de
.
Conteúdo: métodos de otimização unidimensional sem derivada – busca da razão áurea e interpolação quadrática.
Vamos precisar de
Conteúdo: métodos de otimização unidimensional sem derivada – busca da razão áurea e interpolação quadrática.
Vamos precisar de
- razão áurea
e iterações até . - fórmula de vértice de parábola através de três pontos e iterações até
.
Passo 2
Busca da razão áurea
- Defino
, . - Em cada iteração calculo
- Avalio
e . Se elimino o subintervalo , pois o máximo está em ; caso contrário elimino . - Atualizo
e repito até .
Tabela resumida das primeiras iterações (somente colunas essenciais):
No
temos
e tomamos como máximo
Passo 3
Interpolação quadrática
- Começo com
, , e calculo . - Em cada iteração obtenho novo ponto
- Substituo o pior dos quatro pontos
mantendo sempre três que contenham o máximo e repito até .
Tabela de iterações (apenas valores de
e erro):
No passo 6 atingimos
, logo
Passo 4
Evolução do erro e estabilidade
Se colocarmos em gráfico o erro versus
para cada método, observamos:
Se colocarmos em gráfico o erro
- Razão áurea:
decresce geometricamente e de forma monótona, sem oscilações. - Interpolação quadrática: há oscilações de
nas primeiras iterações (overshoot), mas depois convergência rápida. Não há sinal de instabilidade grave pois o método estabiliza em torno de .
Resposta
a)
(busca da razão áurea)
b) (interpolação quadrática)
c) O gráfico de erro mostra convergência monótona no método da razão áurea e oscilações iniciais seguidas de convergência rápida na interpolação quadrática; não há instabilidade grave em nenhum dos dois.
b)
c) O gráfico de erro mostra convergência monótona no método da razão áurea e oscilações iniciais seguidas de convergência rápida na interpolação quadrática; não há instabilidade grave em nenhum dos dois.