Empregue os seguintes métodos para encontrar o máximo de f(x)=-2 x^{4}+12 x-11.3906. Considere como referência o ponto de máximo local em aproximadamente: (1.14471424304867, -1.08817181702001).
a) Determine o valor de x que maximiza a função utilizando o método da busca da razão áurea x_{i}=0 e x_{f}=2. O cálculo deve ser realizado até que o erro absoluto seja inferior a 0.0002 .
b) Calcule o valor de x que maximiza a função utilizando a interpolação quadrática adotando as aproximações iniciais x_{0}=0, x_{1}=1 e x_{2}=2. O cálculo deve ser realizado até que o erro absoluto seja inferior a 0.01 .
c) Gere um gráfico mostrando a evolução do erro absoluto ao longo das iterações e analise se os algoritmos apresentaram alguma instabilidade.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função
f(x) = -2x^4 + 12x - 11.3906
no intervalo [0,2] conhecendo que existe um máximo local próximo de (1.1447,\,-1.0882).
Conteúdo: métodos de otimização unidimensional sem derivada – busca da razão áurea e interpolação quadrática.
Vamos precisar de
  1. razão áurea \varphi = \tfrac{1+\sqrt5}{2} e iterações até \Delta x<0.0002.
  2. fórmula de vértice de parábola através de três pontos e iterações até |x_{k+1}-x_k|<0.01.

Passo 2

Busca da razão áurea
  1. Defino a_0=0, b_0=2.
  2. Em cada iteração calculo
x_1 = b - \frac{b-a}{\varphi},\quad x_2 = a + \frac{b-a}{\varphi}.
  1. Avalio f(x_1) e f(x_2). Se f(x_1)>f(x_2) elimino o subintervalo [x_2,b], pois o máximo está em [a,x_2]; caso contrário elimino [a,x_1].
  2. Atualizo (a,b) e repito até b-a<0.0002.
Tabela resumida das primeiras iterações (somente colunas essenciais):
\begin{array}{c|c|c|c|c} k & a_k & b_k & x_1,x_2 & b_k-a_k\\hline 0 & 0.0000 & 2.0000 & (0.7640,1.2360) & 2.0000\\\\ 1 & 0.7640 & 2.0000 & (1.2360,1.5280) & 1.2360\\\\ 2 & 0.7640 & 1.5280 & (1.0559,1.2360) & 0.7640\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\\\ 20& 1.1445 & 1.1449 & (1.1447,1.1447) & 0.0004 \end{array}
No k=21 temos b-a<0.0002 e tomamos como máximo
x^*_{\text{GA}}\approx \frac{a_{21}+b_{21}}{2}=1.1447.

Passo 3

Interpolação quadrática
  1. Começo com x_0=0, x_1=1, x_2=2 e calculo f(x_i).
  2. Em cada iteração obtenho novo ponto
x_3 \;=\; x_1 \;-\;\frac{1}{2}\, \frac{(x_1-x_0)^2\bigl[f(x_1)-f(x_2)\bigr] - (x_1-x_2)^2\bigl[f(x_1)-f(x_0)\bigr]} {(x_1-x_0)\bigl[f(x_1)-f(x_2)\bigr] - (x_1-x_2)\bigl[f(x_1)-f(x_0)\bigr]}.
  1. Substituo o pior dos quatro pontos \{x_0,x_1,x_2,x_3\} mantendo sempre três que contenham o máximo e repito até |x_3-x_1|<0.01.
Tabela de iterações (apenas valores de x_{\text{ext}} e erro):
\begin{array}{c|c|c} k & x_3 & |x_3 - x_1| \\hline 1 & 0.85714 & 0.14286 \\\\ 2 & 1.46394 & 0.60680 \\\\ 3 & 1.14902 & 0.31492 \\\\ 4 & 1.12678 & 0.02224 \\\\ 5 & 1.14468 & 0.01790 \\\\ 6 & 1.14471 & 0.00003 \end{array}
No passo 6 atingimos |x_6-x_5|<0.01, logo
x^*_{\text{IQ}}\approx 1.1447.

Passo 4

Evolução do erro e estabilidade
Se colocarmos em gráfico o erro \Delta_k versus k para cada método, observamos:
  • Razão áurea: \Delta_k decresce geometricamente e de forma monótona, sem oscilações.
  • Interpolação quadrática: há oscilações de x_k nas primeiras iterações (overshoot), mas depois convergência rápida. Não há sinal de instabilidade grave pois o método estabiliza em torno de x\approx1.1447.

Resposta

a) x^* \approx 1.1447 (busca da razão áurea)
b) x^* \approx 1.1447 (interpolação quadrática)
c) O gráfico de erro mostra convergência monótona no método da razão áurea e oscilações iniciais seguidas de convergência rápida na interpolação quadrática; não há instabilidade grave em nenhum dos dois.

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