Encontre os limites no infinito. \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{2}-4 x}{2 x^{2}-x}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}-4x}{2x^{2}-x}.
Informações dadas:
Numerador: \,5x^{2}-4x\,.
Denominador: \,2x^{2}-x\,.
Queremos o comportamento da razão quando x cresce sem limite (isto é, x\to\infty).
Passo 2
Ideia principal (intuição que depois vamos justificar passo a passo): em frações racionais polinomiais, os termos de maior grau dominam quando x é muito grande; portanto faz sentido dividir numerador e denominador pelo maior poder de x presente. Aqui o maior poder é x^{2}. Façamos isso algebricamente:
Intuição: quando o denominador cresce sem limite, o quociente fica cada vez menor, tendendo a 0. (Por exemplo, \tfrac{4}{10}=0,4, \tfrac{4}{100}=0,04, \tfrac{4}{1000}=0,004, etc.)
Passo 4
Usando as regras de limites (se \lim f(x)=L e \lim g(x)=M e M\neq0, então \lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}), aplicamos ao fator que obtivemos no Passo 2:
Verificação alternativa (divisão polinomial curta), para reforçar a confiança:
Dividindo 5x^{2}-4x por 2x^{2}-x obtemos quociente \dfrac{5}{2} e resto -\dfrac{3}{2}x. Logo