Encontre os limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{2}-4 x}{2 x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}-4x}{2x^{2}-x}.
Informações dadas:
  • Numerador: \,5x^{2}-4x\,.
  • Denominador: \,2x^{2}-x\,.
  • Queremos o comportamento da razão quando x cresce sem limite (isto é, x\to\infty).

Passo 2

Ideia principal (intuição que depois vamos justificar passo a passo): em frações racionais polinomiais, os termos de maior grau dominam quando x é muito grande; portanto faz sentido dividir numerador e denominador pelo maior poder de x presente. Aqui o maior poder é x^{2}. Façamos isso algebricamente:
\frac{5x^{2}-4x}{2x^{2}-x} = \frac{x^{2}\!\left(5-\dfrac{4}{x}\right)}{x^{2}\!\left(2-\dfrac{1}{x}\right)} = \frac{5-\dfrac{4}{x}}{2-\dfrac{1}{x}}.
Explicando cada passo:
  • Foi fatorado x^{2} em numerador e denominador porque ambos têm termo x^{2}.
  • Ao fazer a fatoração, os termos restantes ficam com frações \dfrac{4}{x} e \dfrac{1}{x}, que vão a zero quando x\to\infty (ver próximo passo).

Passo 3

Mostrando que as pequenas parcelas desaparecem no infinito:
Para x\to\infty vale
\lim_{x\to\infty}\frac{4}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Intuição: quando o denominador cresce sem limite, o quociente fica cada vez menor, tendendo a 0. (Por exemplo, \tfrac{4}{10}=0,4, \tfrac{4}{100}=0,04, \tfrac{4}{1000}=0,004, etc.)

Passo 4

Usando as regras de limites (se \lim f(x)=L e \lim g(x)=M e M\neq0, então \lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}), aplicamos ao fator que obtivemos no Passo 2:
\lim_{x\to\infty}\frac{5-\dfrac{4}{x}}{2-\dfrac{1}{x}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\!\left(5-\dfrac{4}{x}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\!\left(2-\dfrac{1}{x}\right)} = \frac{5-0}{2-0}=\frac{5}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (divisão polinomial curta), para reforçar a confiança:
Dividindo 5x^{2}-4x por 2x^{2}-x obtemos quociente \dfrac{5}{2} e resto -\dfrac{3}{2}x. Logo
\frac{5x^{2}-4x}{2x^{2}-x} = \frac{5}{2} + \frac{-\tfrac{3}{2}x}{2x^{2}-x} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}\cdot\frac{x}{2x^{2}-x}.
Simplificando o termo restante:
\frac{x}{2x^{2}-x}=\frac{1}{2x-1}\xrightarrow[x\to\infty]{}0,
portanto o segundo termo → 0 e o limite novamente é \dfrac{5}{2}.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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