Uma empresa de acolchoados para berçários fez um levantamento com 20 bebes com o intuito de obter informações a respeito das suas estaturas. Sabendo que a estatura tem variância 22,05 \mathrm{~cm}^{2} :
Estaturas 41 50 52 49 49 54 50 47 52 49
(\mathrm{~cm}) 50 52 50 47 49 51 46 50 49 50
a) Encontre um IC 95 \% para a média.
b) De quanto deve diminuir a variância para que o intervalo em (a) caia para 3 / 4 do tamanho?
c) Refaça o item (a) considerando variância desconhecida.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=20 estaturas de bebês com variância populacional conhecida \sigma^2=22,05,cm ^2. Precisamos:
– (a) construir um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu supondo \sigma^2 conhecida;
– (b) descobrir em quanto devemos diminuir a variância para que o comprimento desse intervalo caia para 3/4 do original;
– (c) refazer o item (a) supondo agora a variância desconhecida e usando a distribuição t.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a média amostral \bar{x}. Somando todas as observações obtemos \sum_{i=1}^{20} x_i = 987. Portanto,
\bar{x} \;=\;\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}x_i \;=\;\frac{987}{20} \;=\;49,35\text{ cm}.

Passo 3

Como \sigma^2 é conhecida, o IC de nível 95\% para \mu é dado por
\bar{x}\pm z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{0,975}=1,96, \sigma=\sqrt{22,05}\approx4,696 e \sqrt{n}=\sqrt{20}\approx4,472. Logo o erro padrão é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx\frac{4,696}{4,472}\approx1,050,
e a margem de erro
1,96\times1,050\approx2,06.
Portanto
\text{IC}_{95\%}:\;49,35\pm2,06 \;\Longrightarrow\; [47,29,\;51,41].

Passo 4

O comprimento do intervalo é
L=2\,z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Queremos L_{\rm novo}=\tfrac34\,L. Assim
2\,z_{0,975}\,\frac{\sigma_{\rm novo}}{\sqrt{n}} =\frac34\;2\,z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad \sigma_{\rm novo}=\tfrac34\,\sigma.
Como \sigma^2=22,05, a nova variância será
\sigma_{\rm novo}^2=\Bigl(\tfrac34\Bigr)^2\,22,05 =\frac{9}{16}\times22,05\approx12,40\text{ cm}^2.
Ou seja, a variância deve diminuir em
22,05-12,40\approx9,65\text{ cm}^2.

Passo 5

Agora supondo \sigma^2 desconhecida, calculamos a variância amostral
s^2 =\frac{\sum_{i=1}^{20}x_i^2 - n\,\bar{x}^2}{n-1} =\frac{48849 - 20\times49,35^2}{19} \approx7,08,
logo s\approx2,662. O IC de 95\% para \mu usa t_{0,975,19}\approx2,093:
\bar{x}\pm t_{0,975,19}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =49,35\pm2,093\times\frac{2,662}{\sqrt{20}} \approx49,35\pm1,25 \;\Longrightarrow\; [48,10,\;50,60].

Resposta

(a) [47,29,\;51,41].
(b) A variância deve passar de 22,05 para \approx12,40,cm ^2 (redução de \approx9,65,cm ^2).
(c) [48,10,\;50,60].

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