Uma empresa afirma que o diâmetro médio de um pistão produzido em sua fábrica é de 50 mm. Uma amostra aleatória de 30 pistões foi coletada, e o diâmetro médio medido foi de 49,8 mm, com um desvio-padrão de 0,2 mm. Teste, com um nível de significância de 5 %, se há evidências para afirmar que o diâmetro médio dos pistões produzidos é diferente de 50 mm.
Qual é a conclusão do teste?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo.
Enunciado resumido: a fábrica diz que o diâmetro médio dos pistões é 50 mm. Pegamos uma amostra de 30 pistões e achamos média de 49,8 mm e desvio-padrão de 0,2 mm. Queremos testar, com nível de significância de 5%, se de fato o diâmetro médio é diferente de 50 mm.
Conteúdo: teste de hipótese para média populacional quando o desvio-padrão é desconhecido → usamos o teste t de Student.
O que vamos precisar:
  1. Montar hipóteses nula e alternativa.
  2. Definir estatística de teste e distribuição (t com n−1 graus de liberdade).
  3. Calcular o valor de t.
  4. Comparar com t crítico (ou achar p-value).
  5. Concluir.

Passo 2

Hipóteses:
H₀: μ = 50 mm
H₁: μ ≠ 50 mm (teste bilateral)
Nível de significância α = 0,05.
Como o σ populacional é desconhecido e a amostra é “pequena” (n = 30), usamos a distribuição t com df = n−1 = 29.

Passo 3

A estatística de teste t é dada por
t = bar x - mu0s/raizn,
onde
= média amostral = 49,8 mm
– μ₀ = valor sob H₀ = 50 mm
– s = desvio-padrão amostral = 0,2 mm
– n = tamanho da amostra = 30
– df = n−1 = 29

Passo 4

Vamos calcular:
s/raizn = 0,2raiz30 approx 0,2 / 5,477 = 0,0365
Então
t = 49,8 - 500,0365 = -0,20,0365 approx -5,48

Passo 5

Agora o t crítico para α/2 = 0,025 e df = 29 (t_{0,975;29}) vale cerca de ±2,045.
Como |t| = 5,48 é bem maior que 2,045, ele cai na região de rejeição de H₀.
Em outras palavras, o p-value é muitíssimo menor que 0,05.

Resposta

Rejeitamos H₀. Há evidências, ao nível de 5%, de que o diâmetro médio dos pistões é diferente de 50 mm.

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