Seja X com densidade
f(x)=cc C(1-x^2), & se -1 <= x <= 1 0, & caso contrário á
Calcule a E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma variável contínua f(x)= C,(1 - x^2), & -1 <= x <= 1, 0, & caso contrário com densidade
á
O assunto é “variável contínua” e “momentos” (esperança e variância). Para resolver a gente precisa de:
  1. Normalizar a densidade (achar ).
  2. Calcular a esperança via .
  3. Calcular via .
  4. Usar .

Passo 2

Primeiro a gente encontra integral-1^1 C,(1 - x^2),dx = Cl[integral-1^1 1,dx - integral-1^1 x^2,dxr] = Cl[2 - tfrac23r] = Ccdot tfrac43 impondo C = 34 .
Logo , isto é

Passo 3

Agora vamos a E(X) = integral-1^1 x cdot 34(1 - x^2),dx = 34l[integral-1^1 x,dx - integral-1^1 x^3,dxr] .
E(X) = 34(0 - 0) = 0
Mas (função ímpar) e também.
Então

Passo 4

Pra variância a gente precisa de E(X^2) = integral-1^1 x^2 cdot 34(1 - x^2),dx = 34l[integral-1^1 x^2,dx - integral-1^1 x^4,dxr] :
E(X^2) = 34l(tfrac23 - tfrac25r) = 34cdot 10 - 615 = 34cdot 415 = 315 = 15
Sabemos e .
Então
Daí

Resposta

e

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