UTFPR-GP - Probabilidade e Estatística - Prof ^a. Flávia Konowalenko
Lista 4
Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X . Calcule a média, E(X), e o desvio padrão, DP(X).

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas (total de 8), a gente retira 3 bolas sem repor e define X = número de bolas pretas que saíram. Esse é um caso clássico de distribuição hipergeométrica. Para resolver vamos precisar entender combinações (como contar quantas formas diferentes de tirar k bolas pretas e o resto vermelho) e aplicar a fórmula da probabilidade hipergeométrica, além de usar fórmulas conhecidas de média e variância dessa distribuição.

Passo 2

Vamos achar a função de probabilidade de X, isto é, para cada k = 0,1,2,3,
P(X = k) ;=;binom5k,binom33-kbinom83
Explicando:
  • conta de quantas maneiras escolho k bolas pretas dentre as 5.
  • conta de quantas maneiras escolho as bolas vermelhas dentre as 3.
  • é o total de formas de tirar qualquer 3 bolas de 8.
    Aí calculamos cada caso:
  • P(X=0) = .
  • P(X=1) = .
  • P(X=2) = .
  • P(X=3) = .

Passo 3

Agora a média E(X) ;=; n,KN, . Pra distribuição hipergeométrica a fórmula é
E(X) ;=; 3cdot58 ;=; 158 ;=; 1,875
onde (bolas retiradas), (pretas no total) e .
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Passo 4

Para o desvio padrão, primeiro pegamos a variância. A fórmula da variância na hipergeométrica é
Var(X) ;=; n;KN;N-KN;N-n,N-1,
Substituindo Var(X) =3cdot58cdot38cdot8-37 =3cdot58cdot38cdot57 =3cdot5cdot3cdot58cdot8cdot7 =225448approx0,5022 , DP(X)=raizVar(X) =raiz225448 approx0,709 , :
Aí o desvio padrão é

Resposta

Distribuição de X:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Média: .
Desvio padrão: .

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