UTFPR-GP - Probabilidade e Estatística - Prof
. Flávia Konowalenko
Lista 4
Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X . Calcule a média,
, e o desvio padrão,
.
Lista 4
Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X . Calcule a média,
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas (total de 8), a gente retira 3 bolas sem repor e define X = número de bolas pretas que saíram. Esse é um caso clássico de distribuição hipergeométrica. Para resolver vamos precisar entender combinações (como contar quantas formas diferentes de tirar k bolas pretas e o resto vermelho) e aplicar a fórmula da probabilidade hipergeométrica, além de usar fórmulas conhecidas de média e variância dessa distribuição.
Passo 2
Vamos achar a função de probabilidade de X, isto é, para cada k = 0,1,2,3,
Explicando:
-
conta de quantas maneiras escolho k bolas pretas dentre as 5. -
conta de quantas maneiras escolho as bolas vermelhas dentre as 3. -
é o total de formas de tirar qualquer 3 bolas de 8.
Aí calculamos cada caso: -
P(X=0) =
. -
P(X=1) =
. -
P(X=2) =
. -
P(X=3) =
.
Passo 3
Agora a média
. Pra distribuição hipergeométrica a fórmula é
onde
(bolas retiradas),
(pretas no total) e
.
Logo
Logo
Passo 4
Para o desvio padrão, primeiro pegamos a variância. A fórmula da variância na hipergeométrica é
Substituindo
,
,
:
Aí o desvio padrão é
Resposta
Distribuição de X:
-
, -
, -
, -
.
Média:
.
Desvio padrão: .
Desvio padrão: