Uma equipe de nutricionistas está testando os efeitos de uma nova fórmula de suplemento de ferro desenvolvida para pessoas com anemia. O objetivo é verificar se a fórmula altera significativamente o nível médio de ferro no sangue, cujo valor histórico na população é de .
Após um ciclo completo de suplementação, 15 pacientes foram submetidos a exames para medir a concentração de ferro no sangue. Os resultados (em ) foram:
85 81 84 87 80 82 86 88 83 84 85 86 87 82 83

Itens

a) Formule as hipóteses nula e alternativa, considerando que se deseja verificar qualquer alteração no nível médio (para mais ou para menos) após a intervenção.
b) Calcule a média amostral e o desvio padrão amostral dos níveis de ferro.
c) Determine a região crítica na escala da média amostral, utilizando , indicando os valores da média amostral que levariam à rejeição da hipótese nula.
d) Calcule o p-valor correspondente ao teste.
e) Com base na região crítica e no p-valor, conclua se há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.
f) Suponha que a verdadeira média dos níveis de ferro após o tratamento seja . Calcule a probabilidade do erro tipo II para essa hipótese alternativa.

Passo 1

O enunciado faz um teste de hipótese para a média de ferro no sangue, comparando com o valor histórico mu0=80 mg/dL, usando uma amostra de tamanho n=15. Como queremos detectar qualquer desvio (para mais ou para menos), trata-se de um teste t de Student bicaudal.

Passo 2

Calculamos a média amostral e o desvio padrão amostral.
Somando os 15 valores obtemos
sum xi =1263,
logo
barx=126315=84,2 mg/dL
Para o desvio padrão amostral usamos
s=raiz1n-1sumi=1^n(xi-barx)^2 =raiz78,414approx2,366 mg/dL

Passo 3

A região crítica de um teste bicaudal com alpha=0,05 e df=14 usa
t0,975,14approx2,145
Em termos de barx, rejeitamos ,H0:mu=80, se
l|barx-80r|>t0,975,14,sraizn =2,145cdot2,366raiz15approx1,311
Isto é, rejeita-se se
barx<80-1,311approx78,689 ou barx>80+1,311approx81,311

Passo 4

O valor do teste é
t=barx-80s/raizn =84,2-802,366/raiz15approx6,876
Para df=14, esse t gera um p-valor bicaudal menor que 0,0001.

Passo 5

Como barx=84,2>81,311 cai na região crítica e p<0,05, rejeitamos H0. Há evidência de alteração (aumento) no nível médio de ferro.

Passo 6

Para mu1=83 mg/dL, o erro tipo II é
beta =Pl(78,689<bar X<81,311midmu=83r) approx Phil(tfrac81,311-830,611r) -Phil(tfrac78,689-830,611r) approxPhi(-2,765)-Phi(-7,057) approx0,0028 "]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Passo 7

Calculamos a média amostral e o desvio padrão amostral.
Somando os 15 valores obtemos
sum xi =1263,
logo
barx=126315=84,2 mg/dL
Para o desvio padrão amostral usamos
s=raiz1n-1sumi=1^n(xi-barx)^2 =raiz78,414approx2,366 mg/dL

Passo 8

A região crítica de um teste bicaudal com alpha=0,05 e df=14 usa
t0,975,14approx2,145
Em termos de barx, rejeitamos ,H0:mu=80, se
l|barx-80r|>t0,975,14,sraizn =2,145cdot2,366raiz15approx1,311
Isto é, rejeita-se se
barx<80-1,311approx78,689 ou barx>80+1,311approx81,311

Passo 9

O valor do teste é
t=barx-80s/raizn =84,2-802,366/raiz15approx6,876
Para df=14, esse t gera um p-valor bicaudal menor que 0,0001.

Passo 10

Como barx=84,2>81,311 cai na região crítica e p<0,05, rejeitamos H0. Há evidência de alteração (aumento) no nível médio de ferro.

Passo 11

Para mu1=83 mg/dL, o erro tipo II é
beta =Pl(78,689<bar X<81,311midmu=83r) approx Phil(tfrac81,311-830,611r) -Phil(tfrac78,689-830,611r) approxPhi(-2,765)-Phi(-7,057) approx0,0028

Resposta

(a) ;H0:mu=80 mg/dL e H1:muneq80 mg/dL.
(b) ;barx=84,2 mg/dL, ;sapprox2,366 mg/dL.
(c) ;Rejeita-se se barx<78,689 ou barx>81,311.
(d) ;p-valor<0,0001.
(e) Rejeita-se H0. Há evidência de alteração.
(f) ;betaapprox0,0028.

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